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806 ：デフォルトの名無しさん[]：2016/10/22(土) 08:46:26.95 ID:Htpe6Sbe - 書かなきゃ良かった
あれを書いたらこれも書かなきゃいけない気がする
QR法は次の方法を繰り返して固有ペアを求める方法です
A (0) := A // 初期値
Q (k + 1) R (k + 1) := A (k) // QR分解
A (k + 1) := R (k + 1) Q (k + 1) // スワップ
Q (k)は行列式1の直交行列、R (k)は上半三角行列です
A (k + 1) = t (Q (k + 1)) A (k) Q (k + 1) = R (k + 1) A (k) inv (R (k + 1))
２つめの式から固有値が変わらないことがわかります
２つめと３つめの式は直交行列と上半三角行列による変換に交差があることを示します
Aが正定値対称行列の場合を考えます
この時ある対称行列Lがあって次のように書けます
A = exp (L)
ここで次の式が成り立つようにL (k)を定義します
A (k) = exp (L (k))
さらに、直交行列 P (k)と上半三角行列 S (k)を次のように定義すると
P (k) := Q (1) ... Q (k), S (k) := R (k) ... R (1)
次の２つの式が成り立ちます
L (k) = t (P (k)) L (0) P (k), exp (k L (0)) = P (k) S (k)
kを実数に拡張してexp (s L (0))をsで微分すると戸田流が導かれます
reference request - Diagonalization via the Toda flow - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/177496/diagonalization-via-the-toda-flow
正定値対称行列に限定されますがQR法の証明としても見通しが良いと思います
# 証明は自分の計算と違うとこがあるけど結論は同じ、多分自分の間違い
元のQR法は忘れて戸田流だけ考えても構いません
証明にあるように対称行列を対角化してくれます
QR法はそのままでは遅いので一括処理を前提とした処理が入るようです
その部分をクリアして確率的な方法を適用できればチョベリグ
というのが今回のホラッチョです キリがないのこれでお仕舞い
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810 ：デフォルトの名無しさん[]：2016/10/22(土) 22:57:18.32 ID:Htpe6Sbe - 極値＝最小値？ 答えはノー
極小値＝最小値？ 答えはイエス
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812 ：デフォルトの名無しさん[]：2016/10/22(土) 23:20:56.22 ID:Htpe6Sbe - 確かにアホだね
もう少し書いた方がいいね
一般の問題を考えている限り極小値の数はわからない
それは目的関数とその定義域に依存して決まる
>>804 の目的関数では次が成り立つ
極値＝最小値？ 答えはノー
極小値＝最小値？ 答えはイエス
つまり極小値は１つしかないと言っている
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