- プログラミングのお題スレ Part6©2ch.net
443 ：デフォルトの名無しさん[]：2015/02/04(水) 11:39:31.04 ID:3h7Zr70+ - >>442
激問で
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818 ：デフォルトの名無しさん[]：2015/02/04(水) 23:00:14.84 ID:3h7Zr70+ - >>817
2次元の回転で三角関数が出てくるのと同様では?
虚数が仮の数で1次元だった実数を2次元へ拡張したようなもので
2次元平面と似てるのは当然では。
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820 ：デフォルトの名無しさん[]：2015/02/04(水) 23:20:19.13 ID:3h7Zr70+ - 複素数の三次元版拡張。
四元数（クォータニオン）は複素数を拡張した数体系。
四元数についての最初の記述は、1843年に数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによってなされ、三次元空間の力学に応用された。
四元数は応用数学、特に3Dグラフィクスやコンピュータビジョンにおいて三次元での回転の計算でも用いられる。
現代数学的な言い方をすれば、四元数の全体は実数体上四次元の結合的ノルム多元体を成す。四元数は最初に発見された非可換多元体。
フロベニウスの定理に従えば、四元数は実数を真の部分環として含む有限次元可除環の二種類しかないうちの一つ（もう一つは複素数の全体）。
従って、単位四元数は三次元球面上の群構造を選んだものとして考えることができて、群Spin(3)を与える。
これは SU(2) に同型、あるいはまた SO(3) の普遍被覆に同型である。
四元数 - Wikipedia
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822 ：デフォルトの名無しさん[]：2015/02/04(水) 23:40:42.88 ID:3h7Zr70+ - こういった複素数の特徴や、それが1958年まで知られてなかったことが凄い。
多元体 - Wikipedia
結合的多元体
よく知られる結合的な多元体の例は有限次元実多元体である。
フロベニウスの定理によれば、そのような多元体は同型の違いを除いて三種類、実数体（一次元）・複素数体（二次元）、四元数体（四次元）しかない。
非結合的多元体
実数体上で有限次元の可換単位的多元体は同型を除いてちょうど二つだけ存在する（それは実数体と複素数体で、いずれも結合的）。
実は、任意の有限次元可換実多元体の次元は 1 か 2 のいずれかであることが1940年に証明されており、ハインツ・ホップに因んでホップの定理と呼ばれる。
可換性の仮定を落とすことで、ホップは自身の結果を拡張し「任意の有限次元実多元体の次元は2の冪でなければならない」ということを示した。
さらに後に示された事実として、任意の有限次元実多元体の次元は 1, 2, 4, 8 のいずれかでなければならないことが分かっている。
この事実は、ミシェル・ケルヴェアとジョン・ミルナーによってそれぞれ独立に1958年に証明された。これは代数的位相幾何学、特に K-理論を用いるものである。
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