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364 ：デフォルトの名無しさん[]：2014/07/11(金) 18:02:07.09 ID:8gv9BJz/ - テンソル代数、対称代数、外積代数を理解した。
これがテンソル代数。
V、W、Z ：ベクトル空間、双線型写像 f ：V×W→Z ( f(v+v',w)=f(v,w)+f(v',w)、f(v,w+w')=f(v,w)+f(v,w')、f(kv,w)=f(v,kw)=kf(v,w) )に対し、
f = Fτを満たすペア(乗法をもつベクトル空間 X、線型写像 F ：X→Z、双線型写像τ：V×W→X)が一意に存在する。
これが対称代数。
V ：ベクトル空間、可換な乗法をもつベクトル空間 ：Z、線型写像 f ：V→Zに対し、
f = Fτを満たすペア(乗法をもつベクトル空間 X、線型写像 F ：X→Z、線型写像τ：V→X)が一意に存在する。
これが外積代数。
V ：ベクトル空間、乗法をもつベクトル空間 ：Z、線型写像 f ：V→Z、f(v)・f(v)=0に対し、
f = Fτを満たすペア(乗法をもつベクトル空間 X、線型写像 F ：X→Z、線型写像τ：V→X)が一意に存在する。
補足。
対称代数の積はab=ba、外積代数の積はab=-baを満たす。対称代数と外積代数は、テンソル代数を用いて構成できる。
対称代数 - Wikipedia
対称代数 を記述するのにテンソル代数を利用することができる。
実際にはテンソル代数を強制的に可換化することで対称代数を作ることができる。
テンソル代数を
http://upload.wikimedia.org/math/d/e/3/de3794c7bb5e00f8f90f8d52a8925568.png
の形の元全体で生成されるイデアルで割った商多元環として対称代数を構成することができる。
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