- 【糞コテ禁止】【本家】お前ら将来どーするの？【Part50】
142 ：Q[sage]：2021/02/15(月) 00:09:23.20 ID:FFRl13S7 - 証明
aおよびbが奇数であると仮定します。
p,qを整数として・・
a=2p+1
b=2q+1
a^2+b^2
=(2p+1)^2+(2q+1)^2
=4p^2+4p+1+(4q^2+4q+1)
=4(p^2+q^2+p+q)+2
4で割れば2余る。
cは、奇数とも偶数ともいえないから、(e,fを整数として）
まずは偶数2e
(2e)^2=4e^2=4(e^2)なので4で割り切れて「あまり」は0
次は奇数2f+1
(2f+1)^2=4f^2+4f+1=4(f^2+f)+1
4で割れば1余る。
① a^2+b^2
② c^2
なので、①と②を等号で結ぶことはできないという矛盾が出てくるので、
仮定は間違ってる。ゆえに背理法よりa,bの少なくとも一方は偶数であるという命題は成立する。
証明はコレでお終い。
よし！内容はOKなので正解でいいや。
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143 ：Q[sage]：2021/02/15(月) 00:17:21.61 ID:FFRl13S7 - 太陽黒点・・ぜんぜんない。コレはまずい。
氷河期が来る。
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144 ：Q[sage]：2021/02/15(月) 00:21:05.19 ID:FFRl13S7 - よし。今日の勉強はお終いだな。
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145 ：Q[sage]：2021/02/15(月) 14:41:42.93 ID:FFRl13S7 - 1*2*3=6
2*3*4=24
3*4*5=60
5*6*7=210
連続する3個の整数の積は・必ず6の倍数になってます。
では、証明をします。
連続3個なので・・
場合わけが必要かな？
① 1,2,3のときは、初めが奇数で、奇数・偶数・奇数。（奇数が2個）
② 2,3,4の場合は、偶数・奇数・偶数だ。(偶数が2個）
①の場合は、nを整数として2n+1,2n+2,2n+3です。
コレを掛け算します。
(2n+1)(2n+2)(2n+3)
(2n+1)(2n+2)=(4n^2+4n+2)
(4n^2+4n+2)(2n+3)=8n^3+8n^2+6=2(4n^3+4n^2+3)
なので・2の倍数になっています。
=2(2n^2+2n+1)となって、2の倍数です。
② 偶数・奇数・偶数
mを整数として、2m,2m+1,2m+2
2m(2m+1)=4m^2+2m
(4m^2+2m)(2m+2)=8m^3+4m^2+4m
まあ・4でくくれるから4の倍数だけど・この式は2でくくれるから、
2(4m^3+2m^2+2m)で2の倍数から始まるので、2の倍数といえるな。
で、さらに連続3個の整数をよく見てみたら・・
2,3,4
3,4,5
5,6,7
必ず1個3の倍数がある。つまり2の倍数で、かつ3の倍数だから6の倍数。
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146 ：Q[sage]：2021/02/15(月) 20:22:02.19 ID:FFRl13S7 - 連続する3個の整数は・必ず6の倍数になっています。
このコトを知っているというか、？
問題を解く途中で発見するのか・・
でも、小学校で教えてもらうようなコトなので、
たぶん「知識」として処理するのが次の問題なんだろな。
そうでないと、いきなり解けない。
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147 ：Q[sage]：2021/02/15(月) 22:33:32.89 ID:FFRl13S7 - 問題：nが整数の場合に、2n^3+3n^2+nは★6の倍数であるコトを示せ。
この問題も・・
ま・姑息な問題で、6の倍数という知識で解くように誘導されてる。
それを見逃せば・・？の闇に落ちてしまうかもしれないよ。
6の倍数であるから、与えられた式が連続3個の整数の積になるように、
式変形をすればいいというコトになるな。
また・式変形ですか？
そればかりのような気がするけれど、どうなのかな？
偉そうに・星は3コ付いてる。三ツ星問題ですか？
まずは・2n^3+3n^2+n
分解して変形します。n(2n^2+3n+1)として・・
カッコ内部が因数分解できるかな？
2×1-1
1×1-2
コレで・たすき掛けは完了なので。
n(2n+1)(n+1)
まずは・ココまでで、次が6の倍数は連続3個の整数の積という知識から、
この式を変形していくんだ。
改造できる部分は、(2n+1)だろな？
n(2n+1)(n+1) この式をよく見てみたら、n,(n+1)があるから、
連続体を作るには、(n-1)か、(n+2)が必要だな・・
なんだろな？(2n+1)から(n-1)を引けば、(2n+1)-(n-1)=n+2で、うまく2コできてしまう。
仕組まれた問題の「いやらしさ」がにじみ出ているよ。
ココがふざけた式変形部分だ。式変形ばかりの・ブタコロナ平蔵みたいな問題だ。
?
n(2n+1)(n+1)
=(2n+1)n(n+1)
=｛(n-1)+(n+2)｝*｛n(n+1)｝ コレが学力なのかな？
=①(n-1)n(n+1)+②(n+2)n(n+1)
=①(n-1)n(n+1)+①n(n+1)(n+2) ②の順序を並び替えたら どちらも連続3個の整数の積になる。
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148 ：Q[sage]：2021/02/15(月) 22:40:34.38 ID:FFRl13S7 - ①(n-1)n(n+1)+①n(n+1)(n+2)
①と②は、どちらも整数3個の連続体なので、6の倍数だよ。
6の倍数と6の倍数を足し算したら、6の倍数の2倍で、やっぱり6の倍数になる。
なので、2n^3+3n^2+nは6の倍数というコトになる。
どこが難しいのかな？
式の変形だよ。式の変形で人生が決まるんですか＞？
そうなんでしょ。
こんなヘンテコな問題をだして、なにが面白いんだろ？
ブタが作る問題なんか・意味ないよね。
ホントだよ。
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149 ：Q[sage]：2021/02/15(月) 23:22:48.38 ID:FFRl13S7 - 次の問題は？
n,pを任意に自然数とする場合において・n^pとn^(p+4)は1の位が一致するコトを示しなさいだって。
1の位の一致？modで10かな？mod10にして、余りが同じなら1の位は一致するよ。
10を法として・・
n^p≡n^(p+4) (mod10)が成り立てばOkなはずだけれど。
合同が成り立つことを証明するの？引き算したら0だよ。余りが同じだから。
合同式の定義から、n^p-n^(p+4)≡0(mod10)
なんか・難しくなってきたな？あー・また時間が。
夜の時計が12に迫ってるよ。困ったな・・
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150 ：Q[sage]：2021/02/15(月) 23:34:20.21 ID:FFRl13S7 - n^(p+4)-n^p≡0(mod10)
逆にしてもOkかな？大きいほうから小さいほうを引いたほうがいい感じ。
ココで指数法則の技を使う。
n^(p+4)というのは、指数が足し算なら・もともとは掛け算だ。
なので、n^(p+4)=n^P*n^4
?
まだ・ダメだな・・敵の狙いは・式変形かく乱作戦だろうとは思うけれど。
n^(p+4)-n^p-(n^p)≡0 (mod10)
=n^p(n^4-1)≡0(mod10) コレで同じ意味になる。もう眠ろう。
また明日だな。
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