- スレタイ 箱入り無数目を語る部屋20
410 ：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP []：2024/07/18(木) 09:51:36.81 ID:VS/wVAHV - 詭弁は、よし子さん ；ｐ）
（>>349より再録）
ふっふ、ほっほ
箱に順にサイコロの出目を入れる出題を
「箱入り無数目」の出題ルールとして、許しているとする
（>>1より「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^nを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.」なので）
１）箱に順にサイコロの出目を入れ、IID(独立同分布)を仮定する（これは現代の確率論では普通）
２）そうすると、任意の箱の中の数を箱を開けずに的中する確率は1/6 （同分布）
３）独立だから、ある一つの箱を残して、他の箱を全部開けても 残した箱の的中確率は不変で1/6
よって、
”箱入り無数目”論法：ある一つの箱を残して、他の箱を全部開けて、
残した箱の的中確率を、1/6→99/100 (ないし1-ε)に改善できるの手法は、
現代の確率論と矛盾することになる！！
ワッハハ、ワッハハ！！ ｗｗｗ ；ｐ）
(参考)
https://detail.chieb..._detail/q11189606566
chiebukuro.yahoo
ID非公開さん
2018/4/28 0:09
「冗談はよし子さん」というのは
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bin********さん
2018/4/28 1:40
鈴木由美子さんの漫画「ジョーダンはよしこちゃん！」が
発信源のようです。この本は1986年の完結本なので、
80年代後半話題になり広まったものと思います。
以下、講談社HPの製品ページです
製品名 ジョーダンはよしこちゃん！
著者名 著：鈴木 由美子
発売日 1986年09月09日
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866 ：１３２人目の素数さん[]：2024/07/18(木) 15:08:26.93 ID:VS/wVAHV - >>865
ご苦労様です
私も、宇宙の数学の話は”天文学者”ｗではないので 詳しくないが ；ｐ）
以下、一応の説明を下記に致します
（まず、前振りで 望月IUT IVをば引用します）
(望月新一ホームページ)
LOG-VOLUME COMPUTATIONS AND SET-THEORETIC FOUNDATIONS
Shinichi Mochizuki April 2020
P67
(抜粋)
Section 3: Inter-universal Formalism: the Language of Species
In the following discussion, we shall work with various models — consisting of “sets” and a relation “∈” — of the standard ZFC axioms of axiomatic set theory [i.e., the nine axioms of Zermelo-Fraenkel, together with the axiom of choice — cf., e.g., [Drk], Chapter 1, §3].
We shall refer to such models as ZFC-models. Recall that a (Grothendieck) universe V is a set satisfying the following axioms [cf. [McLn], p. 194]:
(i) V is transitive, i.e., if y ∈ x, x ∈ V , theny ∈ V.
(ii) The set of natural numbers N ∈ V.
(iii) If x ∈ V, then the power set of x also belongs to V.
(iv) If x ∈ V, then the union of all members of x also belongs to V.
(v) If x ∈ V, y ⊆V,andf : x→y is a surjection, theny ∈ V. We shall say that a set E is a V-set if E ∈ V.
The various ZFC-models that we work with may be thought of as [but are not restricted to be!] the ZFC-models determined by various universes that are sets relative to some ambient ZFC-model which, in addition to the standard axioms of ZFC set theory, satisfies the following existence axiom [attributed to the “Grothendieck school” — cf. the discussion of [McLn], p. 193]:
(†G) Given any set x, there exists a universe V such that x ∈ V.
We shall refer to a ZFC-model that also satisfies this additional axiom of the Grothendieck school as a ZFCG-model.
This existence axiom (†G) implies, in particular, that:
Given a set I and a collection of universes Vi,wherei ∈ I, indexed by I [i.e., a ‘function’ I i→ Vi], there exists a [larger] universe V such that Vi ∈ V, fori ∈ I.
略
つづく
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867 ：１３２人目の素数さん[]：2024/07/18(木) 15:12:44.35 ID:VS/wVAHV - つづき
Although we shall not discuss in detail here the quite difficult issue of whether or not there actually exist ZFCG-models, we remark in passing that it may be possible to justify the stance of ignoring such issues in the context of the present series of papers — at least from the point of view of establishing the validity of various “final results” that may be formulated in ZFC-models — by invoking the work of Feferman [cf. [Ffmn]]. Precise statements concerning such issues, however, lie beyond the scope of the present paper [as well as of the level of expertise of the author!].
＜google部分訳＞
ZFCG モデルが実際に存在するかどうかという非常に難しい問題についてはここでは詳しく議論しませんが、この一連の論文の文脈では、少なくとも ZFC モデルで定式化される可能性のあるさまざまな「最終結果」の妥当性を確立するという観点からは、Feferman の研究 [cf. [Ffmn]] を引用することで、そのような問題を無視する立場を正当化できる可能性があることを付け加えておきます。ただし、そのような問題に関する正確な記述は、本論文の範囲を超えています [また、著者の専門知識のレベルを超えています]。
[McLn]
S. MacLane, One Universe as a Foundation for Category Theory, Reports of the Midwest Category Seminar III, Lecture Notes in Mathematics 106, SpringerVerlag (1969).
(引用終り)
さて
１）この部分Section 3では、望月氏が最後に逃げています
初期原稿から、相当変わっています。下記
初期原稿に対する批判が、下記のYourpediaによくまとまっていますので引用します
(参考)
ja.ユアペディア.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
提供: Yourpedia
（2014年の段階では検証は終わっていない）
13 数学基礎論による厳密な定式化
グロタンディーク宇宙や種の言語と呼ばれる理論により宇宙際の議論の数学的定式化の構想をしている。
グロタンディーク宇宙とは以下の定義で与えられる集合 U である：
略
ZFCに付け加える公理、つまり論理式によってことなるモデルであるグロタンディーク宇宙が無数に作れるようになる。このとき、ZFCで成り立つ論理式の集まりをひとつの構造とみなす。すると種の理論によって別の構造や種との理論が作られる。種の理論は決定的なアルゴリズムとして利用する。（ただし、通常の自己同型がこの理論では自己言及による非決定性問題となるという困難の解消が必要だという。）このような視点が'宇宙際'幾何という名称の由来となっているとしている。
つづく
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868 ：１３２人目の素数さん[]：2024/07/18(木) 15:13:07.84 ID:VS/wVAHV - つづき
以下の問題点が指摘されている。
・同じ言語上の二つの理論において、保存的拡大という用語を使用している。特にZFCGはZFCの保存的拡大ではない。
・ZFCは無限個の公理からできている。仮に有限個の公理型に分類しても定式化の仕方によるので9個とは言い切れない。
これらは細部や用語上の問題ではなく、一階述語論理などの基本的な性質に関連するため、Inter-universal Teichmuller Theory IV の Section3 は集合論や数理論理学における文脈では意味をなさない主張になっており、著者が数理論理学について理解をしていない可能性があるという意見がある。（ただし論文の構成上、宇宙際タイヒミュラー理論の正当性とは関係ないとみられている。）
(引用終り)
２）次に、「Grothendieck宇宙の導入の意義：圏のサイズの問題」など、下記ご参照
(参考)
mathlog.info/articles/130
mathlog
サクラ 投稿日：2020年11月7日
Grothendieck宇宙のーと
・Grothendieck宇宙の導入の意義：圏のサイズの問題
斯かる定式化を行なうと対象全体や射全体は集合でなければならない．よって素朴に定義される集合の為す圏SET
は厳密な意味で圏を為さないことになってしまう．
例えば圏論に於ける外延性公理とも呼ばれる米田の補題を用いることができなくなるため，これは不便である．この解決策としては「(1)箙による定義を放棄する」という道もあるが，できれば先に挙げた長所は活かしたい．そこで公理追加によって「一つの集合の中で現代数学の少なくない部分が展開できるほどに大きな集合」の存在を仮定し，その中で圏論を行なうという方法が考えられる．これがGrothendieck宇宙の基本的な考え方である．
・Grothendieck宇宙の定義と基本性質
前節で述べた通り本稿で考察する対象であるGrothendieck宇宙は，圏論を含む現代数学の多くを展開するにたる大きさを持つ集合である．集合であるためその冪集合を取る操作や部分集合を取る操作を自由に行なうことができ，「クラスの大きさに関する問題」を回避するためにしばしば用いられる．
Grothendieck宇宙の存在を仮定することにより如何なる集合論的な操作が正当化できるのかを正確に把握し，これを適切に使うことこそが肝要であると考える．よって本節では特別な集合論的な知識を仮定せずにGrothendieck宇宙の基本性質を述べ，それらに証明を付けていくことにする．
略
・集合論的な準備：順序数，基数(3) -- 弱到達不能性，強到達不能性
略
(引用終り)
（要するに、平たくいえば 圏論をやるには、ZFCは狭い。（集合論の外 つまり クラスに入るかもしれない）
そこで、Grothendieck宇宙の導入する（クラスを回避するため）
そうすると、宇宙が広がって、Grothendieck宇宙の中で展開する圏論は、拡大された集合論の範囲内に収まって
”米田の補題”などが、使えて便利だと）
つづく
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869 ：１３２人目の素数さん[]：2024/07/18(木) 15:17:51.21 ID:VS/wVAHV - つづき
３）用語宇宙にもどると
ZFCの宇宙は、ノイマン宇宙と言われる ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
は、ノイマン宇宙は ZFCの宇宙を拡張したもの
ZFCの宇宙＋到達不能基数が、グロタンディーク宇宙と解釈できるという
（この最後の用語 宇宙は、当初のグロタンディーク宇宙の定義に使った宇宙の意味とは異なっていることに注意
ひらたく言えば、グロタンディーク宇宙の定義の中で最も大きなものといえる）
まとめると、望月IUT IV Section 3における 宇宙は、すでに書き換えられていて
当初の「宇宙と宇宙をつなぐ」INTER-UNIVERSAL からは、かなり後退した記述になり
”そのような問題に関する正確な記述は、本論文の範囲を超えています [また、著者の専門知識のレベルを超えています]”
と逃げるが いまのIUTの立場です
21世紀の基礎論でいうグロタンディーク宇宙は、上記の通りで
圏論を展開するためのZFCの拡大で、圏論が拡大された集合論の範囲内に収まって
”米田の補題”などが、使えて便利（クラスは回避）ってこと
そして、Yourpediaに当初（2014）指摘の通り
『IV の Section3 は集合論や数理論理学における文脈では意味をなさない主張になっており、著者が数理論理学について理解をしていない可能性があるという意見がある。（ただし論文の構成上、宇宙際タイヒミュラー理論の正当性とは関係ないとみられている。）』
が、もろ的中したということですね
繰り返すが、『論文の構成上、宇宙際タイヒミュラー理論の正当性とは関係ない』ということですね
以上
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870 ：１３２人目の素数さん[]：2024/07/18(木) 16:18:02.32 ID:VS/wVAHV - >>869
> ３）用語宇宙
補足
１）いまどき、普通は"宇宙"は、使わない
使う人は、"強制法"で使うくらい(圏論の土俵としてのグロタンディーク宇宙はあるが)
２）さて、"強制法"の歴史を見ると、ポール・コーエンの「1962年、連続体仮説と選択公理のZFからの独立性を証明」
その後、ソロヴェイ (1970)が 実数の集合のルベーグ可測性について論じている
「Shelah (1984) では到達不能基数の無矛盾性が、実数集合が全てルベーグ可測であるモデルの構成に必要であることが示された」
３）つまり、ポール・コーエンの1962年から Shelah 1984年"強制法"の発展があって
いまどきは "宇宙"と言えば、基礎論の"強制法"で使われるくらい
４）なので、"強制法"を知らない人が 数学用語"宇宙"を語ると 時代遅れの感あり
実際、望月氏が上げている [McLn]S. MacLane, One Universe as a Foundation for Category Theory, Reports of the Midwest Category Seminar III, Lecture Notes in Mathematics 106, SpringerVerlag (1969) で かなり古い
現代的な"宇宙"(2024)と整合しているかどうかが問題
それに、"One Universe as a Foundation for Category Theory" 宇宙は１つ
"宇宙と宇宙をつなぐ" どっから出てきた？ｗ
なお『論文の構成上、宇宙際タイヒミュラー理論の正当性とは関係ない』
(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%B7%E5%88%B6%E6%B3%95
強制法 とは、ポール・コーエンによって開発された無矛盾性や独立性を証明するための手法である。1962年、連続体仮説と選択公理のZFからの独立性を証明した
直観的には、強制法は集合論の宇宙 V をより大きい宇宙 V* に拡大することから成り立っている。 この大きい宇宙では、拡大する前の宇宙には無かった ω = {0,1,2,…} の新しい部分集合をたくさん要素に持っている。 そしてそれにより連続体仮説を否定することができる。が、このような議論は表面上不可能である
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%A8%E3%83%B3_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85)
ポール・コーエン
コーエンは強制法を導入し、さらにZFCと連続体仮説の独立性を証明した。1966年にフィールズ賞
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BD%E3%83%AD%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%82%A4%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB
ソロヴェイモデル
ソロヴェイモデルはロバート M. ソロヴェイ (1970)によって構成されたモデルでツェルメロ＝フレンケル集合論 (ZF) の全ての公理が成り立ち、選択公理を除去し、実数の集合が全てルベーグ可測であるようにしたものである。この構成は到達不能基数の存在に依拠している
これによってソロヴェイはルベーグ不可測集合の存在をZFC (ZF+選択公理) から証明するには、少なくとも到達不能基数の存在がZFCと矛盾しない限り、選択公理が本質的に必要であることを示した
補足
最終的に、Shelah (1984) では到達不能基数の無矛盾性が、実数集合が全てルベーグ可測であるモデルの構成に必要であることが示された
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