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418 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/04/08(木) 15:25:44.54 ID:6eVb2X+V - X = P^n
L = O(-1), π: L → Xを自然な全射
とする。
x = [x_0 : x_1 : ... : x_n]∈XのファイバーをL_xと書くと、
L_x = ((x_0, x_1, ..., x_n)∈C^(n+1)を通る直線) 〜 C。
X = ∪U_iを開被覆、φ_i: π^(-1)(U_i) → U_i × Cを局所自明化とすると、
φ_ij = φ_j○φ_i^(-1): (U_i∩U_j) × C → (U_i∩U_j) × C
は、各x∈Xに対して、同型
φ_ij(x, ・): C → C
を引き起こす。従って、g(x)∈GL(1, C)があって、
φ_ij(x, z) = g(x) z。
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419 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/04/08(木) 15:28:10.01 ID:6eVb2X+V - X = P^n
L = O(-1), π: L → Xを自然な全射
とする。
x = [x_0 : x_1 : ... : x_n]∈XのファイバーをL_xと書くと、
L_x = ((x_0, x_1, ..., x_n)∈C^(n+1)を通る直線) 〜 C。
X = ∪U_iを開被覆、φ_i: π^(-1)(U_i) → U_i × Cを局所自明化とすると、
φ_ij = φ_j○φ_i^(-1): (U_i∩U_j) × C → (U_i∩U_j) × C
は、各x∈Xに対して、同型
φ_ij(x, ・): C → C
を引き起こす。従って、g_i,j(x)∈GL(1, C)があって、
φ_ij(x, z) = g_i,j(x) z。
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420 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/04/08(木) 15:40:33.91 ID:6eVb2X+V - L'をLの双対とする。すなわち、各x∈Xに対して、
L'_x = (L_x)'。
座標関数x_0, x_1, ..., x_nは、L_xの線型汎関数である。
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421 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/04/08(木) 15:56:48.63 ID:6eVb2X+V - Oを自明な直線束X × Cとすると、O(-1)は
(x, l) → (x, l)∈X × C^(n+1)
によって、O^(⊕n+1)に埋め込める。
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422 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/04/08(木) 16:02:59.04 ID:6eVb2X+V - x_0, ..., x_nのk次の単項式は、線形写像
C^(n+1) → C
を定めて、P^n × C^(n+1)の正則な切断を定める。これをO(-k)に制限すると、O(-k)の大域切断が得られる。
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423 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/04/08(木) 16:04:15.15 ID:6eVb2X+V - x_0, ..., x_nのk次の単項式は、線形写像
C^(n+1) → C
を定めて、P^n × C^(n+1)の正則な切断を定める。これをO(-k)に制限すると、O(k)の大域切断が得られる。
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424 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/04/08(木) 16:40:25.48 ID:6eVb2X+V - C[x_0, ..., x_n]_k → H^0(X, O(k))を上の方法で定める。
これが同型であることを示す。
線形性は明らか。
単車性:
多項式fが零切断に移るとすると、各ファイバーL'_xに制限しても0。つまり、L_x上の関数として0。
(1) 包含L ⊂ P^n × C^(n+1)
(2) 第2成分への射影P^n × C^(n+1) → C^(n+1)
(3) f: C^(n+1) → C
を考える。(1)と(2)の合成は全射で、(3)はfが0でなければ零写像ではない。だから、すべてのファイバーに制限して0ということは、fは0である。
あとは全射性。
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