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708 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 06:11:09.65 ID:sZqTSrsC - >>699
もちろん、事前確率分布を[0,1]に設定しても計算できる。
その場合はβ分布を使って、期待値＝1/244 = 0.004098361 とすぐに出せる。
乱数発生させての計算結果(JAGSを使用)と照合
>mean(SideEffect(1,242,0))
[1] 0.004093753
もとのガチャの問題で投稿者がレアアイテム排出確率は4%より低く設定してあるのでは
と疑いを持っていたと判断したから一様分布を[0,0.04]に設定して計算しただけの話。
検定するのに両側検定するか、片側検定するかの違いみたいなものだな。
0/242という極端なデータなので[0,0.04]に設定した計算結果とあんまりかわらん。
> mean(SideEffect(0.04,242,0))
[1] 0.00409812
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709 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 06:14:58.89 ID:sZqTSrsC - >>707
十分ってどれくらい？100は十分大きい？？
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711 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 06:57:43.39 ID:sZqTSrsC - >>706
n=242, p=0.04で二項分布B(n,p)がピークになるのは成功回数が9の時
8,9,10で確率を出してみると
> cbind(8:10,dbinom(8:10,242,0.04))
[,1] [,2]
[1,] 8 0.1208300
[2,] 9 0.1308991
[3,] 10 0.1270812
なので 正規分布N(9,σ)の確率密度が0.1308991になるようなσを求めればピークが一致するはず。
ピークの一致以外は何も考えない近似ではある。
やってみた。
> n=242
> p=0.04
> q=1-p
> nn=0:n
> (mu=nn[which.max(dbinom(nn,n,p))])
[1] 9
> (sd=uniroot(function(sd) dnorm(mu,mu,sd)-dbinom(mu,n,p),c(1,5))$root)
[1] 3.047708
検算
> dnorm(mu,mu,sd)
[1] 0.1308991
> dbinom(mu,n,p)
[1] 0.1308991
このスレにちなんで、罵倒厨の近似とでも呼ぶかなｗ
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712 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 07:01:54.00 ID:sZqTSrsC - >>710
ほら、やっぱり１００が十分大きいか答えることができない。
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713 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 07:04:18.51 ID:sZqTSrsC - 全然、近似できてないんだな。
さいころを100回投げたとき、３の倍数の目が出る回数Xをとする。
40 <= Xとなる確率の近似値を求めよ。
https://www.ozl.jp/unit/statistics/2585.html
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714 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 07:18:58.77 ID:sZqTSrsC - こんな問題ができる。
二項分布B（n=242,p=0.04)をポワソン分布で近似させるとき、ピークが完全に一致するようなポワソン分布のパラメータを求めよ。
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715 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 07:29:04.00 ID:sZqTSrsC - >>714
意外にも答が二個あった。
> (lambda1=uniroot(function(lambda) dpois(mu,lambda) - dbinom(mu,n,p) ,c(0,9))$root)
[1] 8.661711
> (lambda2=uniroot(function(lambda) dpois(mu,lambda) - dbinom(mu,n,p) ,c(9,10))$root)
[1] 9.34699
> dpois(mu,lambda1)
[1] 0.1308992
> dpois(mu,lambda2)
[1] 0.1308991
> dbinom(mu,n,p)
[1] 0.1308991
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717 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 07:49:19.37 ID:sZqTSrsC - >>713
Wolframに入力して二項分布の確率を加算すると
Sum[Binomial[100, k] (1/3)^k(2/3)^(100-k), {k, 40,100}]
0.0966230702となった。
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718 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 07:53:55.86 ID:sZqTSrsC - >>705
期待値の定義に従ってプログラムに計算させているじゃん。
>708の1/244はβ分布の期待値の公式を使ったけど。
別の方法(JAGSでのMCMC)でそれを検算。
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719 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 07:56:30.18 ID:sZqTSrsC - >633の答はまだかよ？
俺の数値解と照合したいんだが。
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724 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 09:31:42.05 ID:sZqTSrsC - >>722
イロハなら、これに即答できる？
n=242 p=0.04の二項分布は正規分布で近似してよいほどｎは十分大きいか？
正規分布で近似したとき成功数が0の確率は(1-0.04)^242に近似していると判断してよいか？
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725 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 09:34:40.04 ID:sZqTSrsC - >>690
>普通に考えて、242回失敗したってだけで成功確率の推定なんかできないでしょ。
事前確率分布を想定すれば推定できる。信頼区間もだせる。
>主催者の言い分によって推定確率が変わるってのも変だし。
事前確率分布によって推定値が変わるのは別に変でもない。
主観的だといわれるが、日本人成人の平均身長を１〜２ｍの間に分布すると想定するのは俺には違和感はない。
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726 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 09:40:32.51 ID:sZqTSrsC - 正規分布って負の値も許すから、二項分布での成功回数が負の値をとる確率０でないのは本当はおかしい。
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727 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 09:45:15.56 ID:sZqTSrsC - n=242 p=0.04の二項分布で成功回数が0の確率は
> 0.96^242
[1] 0.00005124345
正規分布近似で計算すると
> p=0.04
> n=242
> q=1-p
> # １まで
> pnorm(1,n*p,sqrt(n*p*q))
[1] 0.00220399
> # ０から１まで
> pnorm(1,n*p,sqrt(n*p*q)) - pnorm(-0,n*p,sqrt(n*p*q))
[1] 0.001455908
全然、近似していない。
∴p=0.04のとき242は十分大きな数とは言えない。
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729 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 09:50:03.02 ID:sZqTSrsC - >>727
【演習問題】 既述の罵倒厨の補正を用いると近似値が改善するか検討してみよ。
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731 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 09:52:17.23 ID:sZqTSrsC - >>728
YESかNOで答えるだけの問題なのにｗ
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734 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 10:00:54.69 ID:sZqTSrsC - >>730
階層モデルの分散パラメータの事前分布には半コーシー分布（コーシー分布の正の方）を使う。
何故か？ 分散は負の値をとらないから。
よくある試験の問題で〇〇の値は正規分布に従うという設定は−∞から＋∞の値をとるか変数なのかを考えると当てはまらないものが多い。
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736 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 10:10:55.23 ID:sZqTSrsC - >>733
いや、内視鏡スレに防護服の丸め方を投稿しておいたよ。
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1579701192/600
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738 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 10:39:32.53 ID:sZqTSrsC - >>727
pが1/2から離れると正規分布での近似は外れるので
λ=n*pを使ってポアソン分布で近似してみると
n=242 ; p=0.04
> dpois(0,n*p)
[1] 0.0000625215037748
> 0.96^242
[1] 0.0000512434540528
なので正規分布よりは近似した。
罵倒厨の補正をしてみる。
n=242 ; p=0.04
binom_pois <- function(x) sum((dbinom(0:n,n,p)-dpois(0:n,x))^2)
binom_pois=Vectorize(binom_pois)
b=optimise(binom_pois,c(0,30))$minimum
> dpois(0,b)
[1] 0.000061586237615
わずかながら近づいた。
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740 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 11:17:44.24 ID:sZqTSrsC - ｎが十分大きければ正規分布で近似できるか？
レアアイテム排出確率が4%のガチャが242回連続して外れる確率の計算に
(1-0.04)^242を手書き計算するのは大変なので、正規分布近似で求めることにした。
二項分布の平均、標準偏差を用いてN(242*0.04,√(242*0.04*0.96)）の正規分布で近似する。
求めたいのは成功0回の確率なので、この正規分布が-0.5から＋0.5の確率を求めることにした。
（負の値があるのはおかしいという議論はここではしない）
n=242
p=0.04
q=1-p
pnorm(0.5,n*p,sqrt(n*p*q)) - pnorm(-0.5,n*p,sqrt(n*p*q))
> pnorm(0.5,n*p,sqrt(n*p*q)) - pnorm(-0.5,n*p,sqrt(n*p*q))
[1] 0.000880474614122
電卓で(1-0.04)^242を出すと0.00005124345405で1桁違っているのでとても近似とは言い難い。
nが十分大きな数であればいう人もいる。
n回連続して外れる確率を正規分布近似でだすにはnがどれほど大きければよいか？
有効数字1桁は合致していれば十分な近似が得られたと判断する。
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741 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 11:23:57.10 ID:sZqTSrsC - >>740（実験)
ｎを1万にしたら十分大きいだろうか？
> p=0.04
> q=1-p
> n=10000
> q^n
[1] 5.15620761213e-178
> pnorm(0.5,n*p,sqrt(n*p*q)) - pnorm(-0.5,n*p,sqrt(n*p*q))
[1] 7.08172480364e-93
むしろ、近似が悪くなったぜぃ！
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742 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 11:28:48.72 ID:sZqTSrsC - >>740（脱字訂正）
nが十分大きな数であればいう人もいる。
↓
nが十分大きな数であればいいという人もいる。
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