- やさしいフェルマーの最終定理の証明Ⅲ
767 ：日高[]：2021/03/12(金) 08:36:46.98 ID:HbP2oJnt - >752
> s^n+t^n=u^n…(C) は成立しない。」は、
> 「(3) に整数比の無理数解があれば、 (3) に有理数解がある」が成り立つとする。
> とは、関係ありません。
と言ったので、
「(3) に整数比の無理数解があれば、 (3) に有理数解がある」
は証明の理由にならないのでは？ と聞いています。
n≧3のとき、 s^n+t^n=u^n…(C) は成立しない。」は
「(3) に整数比の無理数解があれば、 (3) に有理数解がある」
ことに、なります。
|
- やさしいフェルマーの最終定理の証明Ⅲ
769 ：日高[]：2021/03/12(金) 09:38:53.27 ID:HbP2oJnt - >753
x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)
n=3、x=(3/8)(3^(1/6))+(1/8)(3^(1/2))+(3/8)(3^(5/6))、y=2ｘ、z=(9^(1/3))x
が(3)の解であると認めています。
(3/8)(3^(1/6))+(1/8)(3^(1/2))+(3/8)(3^(5/6))=Aとおくと、
Ａ^3+(2A)^3=(A+√3)^3となります。
計算が、合いません。
５44は間違いだったと思います。
|
- やさしいフェルマーの最終定理の証明Ⅲ
771 ：日高[]：2021/03/12(金) 17:52:07.95 ID:HbP2oJnt - >754
(4)の(an)^{1/(n-1)}を有理数とする。x,zが有理数のとき、x,yは整数比とならない、とは言えません。
どうしてでしょうか？
|
- やさしいフェルマーの最終定理の証明Ⅲ
772 ：日高[]：2021/03/12(金) 17:56:58.69 ID:HbP2oJnt - >756
(3)の解は絶対に(5)の解にならない。(5)の解は絶対に(3)の解にはならない。
そうですね。
|
- やさしいフェルマーの最終定理の証明Ⅲ
773 ：日高[]：2021/03/12(金) 18:04:52.87 ID:HbP2oJnt - >768
「(3) に整数比の無理数解があれば、 (3) に有理数解がある」が成り立てば、
「n≧3のとき、 s^n+t^n=u^n…(C) は成立しない。」が言えるという事でしょうか。
「(3) に整数比の無理数解があれば、は、仮定の話です。（実際には、ありません。）
「n≧3のとき、 s^n+t^n=u^n…(C) は成立する」ことがいえます。
|
- やさしいフェルマーの最終定理の証明Ⅲ
774 ：日高[]：2021/03/12(金) 18:09:24.05 ID:HbP2oJnt - >770
yに無理数を入れると，x:yは整数比にならないんですか。
はい。
|
- やさしいフェルマーの最終定理の証明Ⅲ
775 ：日高[]：2021/03/12(金) 18:12:59.51 ID:HbP2oJnt - 【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。
(1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
(3)はyが有理数のとき、xは無理数となる。よって、(3)の解は、整数比とならない。
(4)の解は(3)の解のa^{1/(n-1)}倍となる。
(4)の(an)^{1/(n-1)}を有理数とする。x,zが有理数のとき、x,yは整数比とならないので、yは無理数となる。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
|
- やさしいフェルマーの最終定理の証明Ⅲ
776 ：日高[]：2021/03/12(金) 18:13:48.38 ID:HbP2oJnt - (3)のx,yが無理数の場合は、x=sw、y=twとおく。
(sw)^n+(tw)^n=(sw+n^{1/(n-1)})^nとなる。(s,tは有理数、wは無理数)
両辺をw^nで割ると、s^n+t^n=(s+n^{1/(n-1)}/w)^n…(A)となる。
s+n^{1/(n-1)}/w=u…(B)となるかを検討する。(uは有理数)
(A)より、w=n^{1/(n-1)}/(s^n+t^n)^(1/n)-sとなる。
(B)に代入すると、(s^n+t^n)^(1/n)=u、s^n+t^n=u^n…(C)となる。
(C)はx^n+y^n=z^nのx,y,zが有理数の場合と同じとなる。
(4)はx,y,zが有理数の場合は、成立しないので、(C)および、
(sw)^n+(tw)^n=(sw+n^{1/(n-1)})^nも、成立しない。
|
- やさしいフェルマーの最終定理の証明Ⅲ
777 ：日高[]：2021/03/12(金) 18:14:35.33 ID:HbP2oJnt - 【定理】n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持つ。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)をr{(y/r)^2-1}=a2{x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+(a2))^2…(4)となる。
(3)はyを有理数とすると、xは有理数となる。(4)の解は(3)の解のa倍となる。
∴n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持つ。
|
- やさしいフェルマーの最終定理の証明Ⅲ
778 ：日高[]：2021/03/12(金) 18:15:19.77 ID:HbP2oJnt - 【定理】n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持つ。
x^2+y^2=(x+2)^2に、y=4を代入する。
ピタゴラス数x=3、y=4、z=5を得る。
|
- やさしいフェルマーの最終定理の証明Ⅲ
786 ：日高[]：2021/03/12(金) 20:09:30.17 ID:HbP2oJnt - >779
上の(4)'式をみれば，(4)は任意の整数比，有理数比どころか，任意の実数比を取りうる，とは思いませんか？
すみません。よく意味がわかりません。
|
- やさしいフェルマーの最終定理の証明Ⅲ
787 ：日高[]：2021/03/12(金) 20:12:28.81 ID:HbP2oJnt - >784
x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)においてx,yをうまく選べばx:yを任意の正数比にできます
y=λxとおいて代入するとx^n+λ^nx^n=(x+n^{1/(n-1)})^n
左辺ひく右辺をf(x)とおくとf(x)=x^n+λ^nx^n-(x+n^{1/(n-1)})^n
fは多項式関数なので連続
f(0)<0かつfの最高次係数は正
よって中間値の定理によりある正数xが存在してf(x)=0となります
すみません。具体例を、挙げていただけないでしょうか。
|
- やさしいフェルマーの最終定理の証明Ⅲ
789 ：日高[]：2021/03/12(金) 20:26:16.81 ID:HbP2oJnt - >782
「(3) に整数比の無理数解があれば、 (3) に有理数解がある」が成り立てば、
「n≧3 のとき、 s^n+t^n=u^n…(C) は成立しない。」が言えるという事でしょうか？
(3) に整数比の無理数解があれば、「n≧3 のとき、 s^n+t^n=u^n…(C) は成立する。」
ことが、いえます。
「(3) に整数比の無理数解があれば、 (3) に有理数解がある」が成り立ちます。
|
- やさしいフェルマーの最終定理の証明Ⅲ
790 ：日高[]：2021/03/12(金) 20:30:54.22 ID:HbP2oJnt - >788
どこを具体的にせよとおっしゃるのでしょうか？
x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)においてx,yをうまく選べばx:yを任意の正数比にできます
の具体例を、示して欲しいのですのですが、
|