- 確率に自信ニキ来て
3 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 13:55:14.16 ID:3PW5/C9p - Def:
集合Gが群であるとは、二項演算
*: G × G → G
が定義されて、以下の(1)-(3)を満たすことである。
∀a, b, c∈G
(1) (ab)c = a(bc)
(2) ∃e∈G s.t. ∀a∈G, ea = ae = a
(3) ∀a∈G, ∃a^(-1)∈G s.t. aa^(-1) = a^(-1)a = e
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4 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 13:56:58.28 ID:3PW5/C9p - >>3
(2)のeを"Gの単位元"といい、他の群のものと区別する場合は1_Gなどとも書く。
(3)のa^(-1)を"aの逆元"という。
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5 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/03/12(金) 13:59:30.81 ID:3PW5/C9p - Prop:
単位元および逆元は一意的である。
Proof:
e'が>>3の(2)をみたすとすると
e' = e'e = e。
a^(-1)'が(3)を満たすとすると、
a^(-1)'
= a^(-1)' e
= a^(-1)' (a a^(-1))
= (a^(-1)' a) a^(-1)
= e a^(-1)
= a^(-1)。□
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