- やさしいフェルマーの最終定理の証明Ⅱ
685 ：日高[]：2021/02/28(日) 10:16:55.96 ID:07x7JPyj - >680
n=2の時を考えてみましょう。
x^2+y^2=(x+4)…(4)
x=8,z=12の時、x,yは有理数となりません。
これで、(4)のx､y､zが有理数にならないことが言えますか？
n=2の時
全ての、x,y,zが有理数となるとは、限りません。
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686 ：日高[]：2021/02/28(日) 10:27:00.86 ID:07x7JPyj - >681
それは、今証明しようとしていること、そのものです。
証明の途中でそんなことは言えません。
A,Bを分けて、考えたらどうなるでしょうか？
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688 ：日高[]：2021/02/28(日) 10:29:22.32 ID:07x7JPyj - >684
>>1
aの定義は何？
aは、rによって、決まります。
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689 ：日高[]：2021/02/28(日) 10:33:12.31 ID:07x7JPyj - >687
x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)
x、zを有理数とすると、x、yが有理数とならないかどうかは、わかりません。
(3)によって、わかります。
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691 ：日高[]：2021/02/28(日) 13:19:50.24 ID:07x7JPyj - 【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。(x,y,zは有理数)
(1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
a(1/a)=1なので、(3)のみを検討すれば良い。(3)は成立しない。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
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693 ：日高[]：2021/02/28(日) 13:30:05.25 ID:07x7JPyj - 【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。(x,yは有理数)
(1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
a(1/a)=1なので、(3)のみを検討すれば良い。(3)は成立しない。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
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700 ：日高[]：2021/02/28(日) 14:51:16.78 ID:07x7JPyj - >690
この時点で、Aグループに有理数比の解があるかどうか、調べてないので
x,yが無理数で、整数比となる場合は、
s,t,uが成立することと、同じです。
693は、x,yを有理数とすると、成立しないので、
x,y,zを、s,t,uとしても、成立しません。
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702 ：日高[]：2021/02/28(日) 14:59:38.72 ID:07x7JPyj - >694
x,yが有理数の時、実際に(2)が(3)に変形できることを、証明してください。
逆算してみて下さい。
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703 ：日高[]：2021/02/28(日) 15:00:26.75 ID:07x7JPyj - 【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。(x,yは有理数)
(1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
a(1/a)=1なので、(3)のみを検討すれば良い。(3)は成立しない。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
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705 ：日高[]：2021/02/28(日) 15:02:32.49 ID:07x7JPyj - >695
aの性質を聞いているのではなく、aの定義を聞いている
aの定義の意味がわかりません。
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706 ：日高[]：2021/02/28(日) 15:09:03.25 ID:07x7JPyj - >696
x,yは有理数,r^(n-1)=nのとき、zは無理数です。
(3)にx,yが有理数、zが無理数の解がないことは、x､y､zが有理数の解がないことの証明になりません。解の比が違うから。
x､y､zが有理数の解がないことの証明にはなりませんが、
(3)が成立しないことは、確かです。
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707 ：日高[]：2021/02/28(日) 15:11:12.12 ID:07x7JPyj - >697
x^2+y^2=(x+2)^2…(3)
x,y,zが1:2:3になる解はありません。これは、x､y､zに有理数の解がないことの証明になりません。解の比が違うから。
そうですね。
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709 ：日高[]：2021/02/28(日) 15:13:48.19 ID:07x7JPyj - >698
x,y,zが有理数の時で、r^(n-1)=nのときはないので、(2)は(3)に変形できません。
(x,yは有理数)とします。
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710 ：日高[]：2021/02/28(日) 15:19:20.74 ID:07x7JPyj - >704
x,yを有理数とすると、r^(n-1)=nのとき、zは無理数である。このような(3)の解はない。しかしx､y､zが有理数比ではないので、x､y､zが有理数比の解がないことはいえない。
(3)は成立しません。
x､y､zが有理数比の解がないことは(3)が成立しないことに、よって、いえます。
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711 ：日高[]：2021/02/28(日) 15:20:55.78 ID:07x7JPyj - (3)のx,yが無理数の場合は、x=sw、y=twとおく。
(sw)^n+(tw)^n=(sw+n^{1/(n-1)})^nとなる。(s,tは有理数、wは無理数)
両辺をw^nで割ると、s^n+t^n=(s+n^{1/(n-1)}/w)^n…(A)となるので、
s+n^{1/(n-1)}/w=u…(B)となるかを検討する。(uは有理数)
(A)より、w=n^{1/(n-1)}/(s^n+t^n)^(1/n)-sとなるので、(B)に代入すると、
(s^n+t^n)^(1/n)=u、s^n+t^n=u^n…(C)となる。
(C)はx,y,zが有理数の場合と同じとなるが、(4)はx,y,zが有理数のとき、
成立しないので、(sw)^n+(tw)^n=(sw+n^{1/(n-1)})^nも、成立しない。
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712 ：日高[]：2021/02/28(日) 15:23:36.89 ID:07x7JPyj - 【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。(x,yは有理数)
(1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
a(1/a)=1なので、(3)のみを検討すれば良い。(3)は成立しない。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
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713 ：日高[]：2021/02/28(日) 15:24:45.90 ID:07x7JPyj - 【定理】n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持つ。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)をr{(y/r)^2-1}=a2{x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+(a2))^2…(4)となる。
(3)はyを有理数とすると、x,zは有理数となる。(4)の解は(3)の解のa倍となる。
∴n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持つ。
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714 ：日高[]：2021/02/28(日) 15:25:40.84 ID:07x7JPyj - 【定理】n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持つ。
x^2+y^2=(x+2)^2に、y=4を代入する。
ピタゴラス数x=3、y=4、z=5を得る。
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716 ：日高[]：2021/02/28(日) 15:34:40.80 ID:07x7JPyj - 【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。(x,yは有理数)
(1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
(3)は成立しない。(4)の解は(3)の解のa^{1/(n-1)}となるので、(4)も成立しない。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
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718 ：日高[]：2021/02/28(日) 15:39:09.36 ID:07x7JPyj - 【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。(x,yは有理数)
(1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
(3)は成立しない。(4)の解は(3)の解のa^{1/(n-1)}倍となるので、(4)も成立しない。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
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725 ：日高[]：2021/02/28(日) 15:46:56.36 ID:07x7JPyj - >715
(2)に有理数比の解があるかないかは、わかりません。
(3)に、整数比の解がないので、(2)にも、整数比の解は、ありません。
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728 ：日高[]：2021/02/28(日) 15:50:50.36 ID:07x7JPyj - (3)のx,yが無理数の場合は、x=sw、y=twとおく。
(sw)^n+(tw)^n=(sw+n^{1/(n-1)})^nとなる。(s,tは有理数、wは無理数)
両辺をw^nで割ると、s^n+t^n=(s+n^{1/(n-1)}/w)^n…(A)となるので、
s+n^{1/(n-1)}/w=u…(B)となるかを検討する。(uは有理数)
(A)より、w=n^{1/(n-1)}/(s^n+t^n)^(1/n)-sとなるので、(B)に代入すると、
(s^n+t^n)^(1/n)=u、s^n+t^n=u^n…(C)となる。
(C)はx,y,zが有理数の場合と同じとなるが、(4)はx,y,zが有理数のとき、
成立しないので、(sw)^n+(tw)^n=(sw+n^{1/(n-1)})^nも、成立しない。
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729 ：日高[]：2021/02/28(日) 15:58:33.50 ID:07x7JPyj - >726
xが有理数、yが有理数で、zが有理数ならば、(2)は(3)になりません。
xが有理数、yが有理数で、zが有理数のとき、(2)と(3)は無関係です。
n≧3、x,yが有理数のときは、(2),(3)は、成立しません。
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731 ：日高[]：2021/02/28(日) 16:00:42.51 ID:07x7JPyj - 【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。(x,yは有理数)
(1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
(3)は成立しない。(4)の解は(3)の解のa^{1/(n-1)}倍となるので、(4)も成立しない。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
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738 ：日高[]：2021/02/28(日) 18:01:49.86 ID:07x7JPyj - >730
つまり、(2)と(3)は無関係です
(2)と(3)は無関係では、ありません。
(2)を、変形すると、(3)になります。
どちらも、成立しません。
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740 ：日高[]：2021/02/28(日) 18:04:54.56 ID:07x7JPyj - (3)のx,yが無理数の場合は、x=sw、y=twとおく。
(sw)^n+(tw)^n=(sw+n^{1/(n-1)})^nとなる。(s,tは有理数、wは無理数)
両辺をw^nで割ると、s^n+t^n=(s+n^{1/(n-1)}/w)^n…(A)となるので、
s+n^{1/(n-1)}/w=u…(B)となるかを検討する。(uは有理数)
(A)より、w=n^{1/(n-1)}/(s^n+t^n)^(1/n)-sとなるので、(B)に代入すると、
(s^n+t^n)^(1/n)=u、s^n+t^n=u^n…(C)となる。
(C)はx,y,zが有理数の場合と同じとなるが、(4)はx,y,zが有理数のとき、
成立しないので、(sw)^n+(tw)^n=(sw+n^{1/(n-1)})^nも、成立しない。
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741 ：日高[]：2021/02/28(日) 18:06:06.89 ID:07x7JPyj - 【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。(x,yは有理数)
(1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
(3)は成立しない。(4)の解は(3)の解のa^{1/(n-1)}倍となるので、(4)も成立しない。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
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- やさしいフェルマーの最終定理の証明Ⅱ
742 ：日高[]：2021/02/28(日) 18:12:23.78 ID:07x7JPyj - >732
あなたが調べたのは、(3)だけです。
(1)(2)(3)(4)は、同じです。
(3)が成立しないので、(1)(2)(4)も成立しません。
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744 ：日高[]：2021/02/28(日) 18:24:22.29 ID:07x7JPyj - >734
結局xが有理数、yが有理数、zが有理数の場合を調べていないので、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たないとは言えません。
(3)(4)で調べています。
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745 ：日高[]：2021/02/28(日) 18:29:29.52 ID:07x7JPyj - >739
もし、x､y､zが有理数ならば、r^(n-1)=nにはならないので、(2)は(3)になりません。(2)のままです。
x､y､zが有理数ならば、(1)(2)(3)(4)は、成立しません。
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748 ：日高[]：2021/02/28(日) 18:40:19.88 ID:07x7JPyj - >743
(4)のzは有理数か無理数か、決まっていません。
(4)のzは有理数となり得ます。
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