- 大学学部レベル質問スレ 15単位目
424 ：１３２人目の素数さん[]：2021/02/22(月) 12:40:26.16 ID:ZA1BxG4s - >>423
u, v の逆元が存在することを証明するには、まず零元が存在することをいう必要があります。
零元の存在はどうやって示すのでしょうか？
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425 ：１３２人目の素数さん[]：2021/02/22(月) 12:44:44.64 ID:ZA1BxG4s - あ、 u - u は、 u + x = u を満たすような元 x でしたね。
いずれにしても零元の存在が言えないと証明できないと思います。
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427 ：１３２人目の素数さん[]：2021/02/22(月) 13:17:59.89 ID:ZA1BxG4s - 任意の u, v ∈ V に対して、
u + 0*v = u
はどうやって示すのでしょうか？
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430 ：１３２人目の素数さん[]：2021/02/22(月) 15:00:56.64 ID:ZA1BxG4s - >>428
ありがとうございます。
u, v を V の任意の元とする。
v + 0*v = 1*v + 0*v = (1 + 0)*v = 1*v = v
∴ 0*v = v - v
とできそうだなと一瞬思いましたが、
u + x = v を満たすような V の元 x が一意的に存在することをまず示さなければならないはずです。
それはどうやって示すのでしょうか？
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432 ：１３２人目の素数さん[]：2021/02/22(月) 15:20:20.48 ID:ZA1BxG4s - やはり、零元の存在は示せませんね。
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433 ：１３２人目の素数さん[]：2021/02/22(月) 15:22:33.87 ID:ZA1BxG4s - Vを空でない集合とし、Wikipediaのベクトル空間の8つの公理のうち「加法単位元の存在」の公理と「加法逆元の存在」の公理を除き、
「任意のベクトル u, v ∈ V に対し、 u + x = v を満たすような V の元 x が存在する。」を付け加えた7つの公理から
「任意のベクトル u, v ∈ V に対し、 u + x = v を満たすような V の元 x が一意的に存在する。」は証明できないと予想します。
反例をお願いします。
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434 ：１３２人目の素数さん[]：2021/02/22(月) 15:57:03.56 ID:ZA1BxG4s - 「任意のベクトル u, v ∈ V に対し、 u + x = v を満たすような V の元 x が一意的に存在する。」が仮に証明できたとすると、
u, v を V の任意の元としたとき、
(u + v) + 0*u = (u + 0*u) + v = (1*u + 0*u) + v = (1 + 0)*u + v = 1*u + v = u + v
(u + v) + 0*v = u + (v + 0*v) = u + (1*v + 0*v) = u + (1 + 0)*v = u + 1*v = u + v
(u + v) + x = u + v の解 x は一意的に存在するから、 0*u = 0*v
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z を V の任意の元とする。
u を V の任意の元とする。
u + 0*z = u + 0*u = 1*u + 0*u = (1 + 0)*u = 1*u = u だから、 0*z は零元である。
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- 大学学部レベル質問スレ 15単位目
435 ：１３２人目の素数さん[]：2021/02/22(月) 15:59:27.03 ID:ZA1BxG4s - そして、実際には、「任意のベクトル u, v ∈ V に対し、 u + x = v を満たすような V の元 x が一意的に存在する。」は成り立たないので、
>>420
金谷健一さんの公理系はベクトル空間の公理系とは異なる。
というのが本当のところではないでしょうか？
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- 大学学部レベル質問スレ 15単位目
439 ：１３２人目の素数さん[]：2021/02/22(月) 19:45:12.36 ID:ZA1BxG4s - >>438
ありがとうございます。
零元の存在が言えたので、零元の一意性、 v = u + x の x の一意性も言えますね。
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- 大学学部レベル質問スレ 15単位目
440 ：１３２人目の素数さん[]：2021/02/22(月) 19:46:42.03 ID:ZA1BxG4s - 意外にも金谷健一さんは間違っていなかったんですね。
一意性を証明せずに、 u + x = v を満たす x を v - u と書くというのは問題がありますが。
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- 分からない問題はここに書いてね 466
34 ：１３２人目の素数さん[]：2021/02/22(月) 22:22:52.41 ID:ZA1BxG4s - f(x) は n+1 次の多項式関数であり、 f(x) = 0 は、 x = 0, 1, …, n の n+1 個の解をもつ。
よって、 f(x) = a*x*(x-1)*(x-2)*…*(x-n) と書ける。
f(x) は、さらに、 f(n+1) = n+1 を満たすから、 f(n+1) = a*(n+1)*n*(n-1)*…*1 = a*(n+1)! = n+1 が成り立つ。
∴a = 1/n! である。
これで、 f(x) = x*(x-1)*(x-2)*…*(x-n)/n! であることが分かった。
k を 0 以上 n 以下の任意の整数とする。
g(x) = x - k
h(x) = x*(x-1)*…*(x-(k-1))*(x-(k+1))*…*(x-n)/n!
とおくと、
f(x) = g(x)*h(x) と書ける。
積の微分の公式を適用すると、
f'(x) = g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x) = h(x) + g(x)*h'(x)
となる。 f(x) に x=k を代入すると、
f'(k) = h(k) + g(k)*h'(k) = h(k) + 0*h'(k) = h(k)
となる。
h(k) = k*(k-1)*…*(k-(k-1)) * (k-(k+1))*…*(k-n) / n! = k*(k-1)*…*1 * (-1)*(-2)*…*(-(n-k)) / n!
= k*(k-1)*…*1 * [(-1)^(n-k) * 1*2*…*(n-k)] / n! = (-1)^(n-k) * k! * (n-k)! / n!
であるから、
f'(k) = (-1)^(n-k) * k! * (n-k)! / n!
である。
(-1)^(n-k) = 1 / (-1)^(n-k) であり、 Binomial(n, k) = n! / [k! * (n-k)!] であることを思い出すと、
f'(k) = 1 / [(-1)^(n-k) * Binomial(n, k)]
であることが分かる。
よって、
Σ[k=0,n] {(1-√2)^k}/f'(k) = Σ[k=0,n] (1-√2)^k * [(-1)^(n-k) * Binomial(n, k)]
= Σ[k=0,n] Binomial(n, k) * (-1)^(n-k) * (1-√2)^k
である。
(a + b)^n = Σ[k=0,n] Binomial(n, k) * a^(n-k) * b^k
が成り立つことを思い出し、 a = -1, b = 1-√2 と代入すると、
Σ[k=0,n] Binomial(n, k) * (-1)^(n-k) * (1-√2)^k = [(-1) + (1-√2)]^n = (-√2)^n を正の整数とする。f
が成り立つことが分かる。
∴Σ[k=0,n] {(1-√2)^k}/f'(k) = (-√2)^n
である。
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- 分からない問題はここに書いてね 466
35 ：１３２人目の素数さん[]：2021/02/22(月) 22:23:08.18 ID:ZA1BxG4s - 以上より、
(-√2)^n > 2^2021
が成り立つような最小の n が答えである。
n が奇数だと左辺はマイナスであるから上の不等式は成り立たない。
よって、 n は偶数でなければならない。
n = 2*k と書く。
(-√2)^n = (-√2)^(2*k) = 2^k > 2^2021
となるような最小の k は明らかに 2022 である。
以上より、最小の n は n = 2 * 2022 = 4044 である。
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- 分からない問題はここに書いてね 466
36 ：１３２人目の素数さん[]：2021/02/22(月) 22:29:26.20 ID:ZA1BxG4s - >>34
訂正します：
f(x) は n+1 次の多項式関数であり、 f(x) = 0 は、 x = 0, 1, …, n の n+1 個の解をもつ。
よって、 f(x) = a*x*(x-1)*(x-2)*…*(x-n) と書ける。
f(x) は、さらに、 f(n+1) = n+1 を満たすから、 f(n+1) = a*(n+1)*n*(n-1)*…*1 = a*(n+1)! = n+1 が成り立つ。
∴a = 1/n! である。
これで、 f(x) = x*(x-1)*(x-2)*…*(x-n)/n! であることが分かった。
k を 0 以上 n 以下の任意の整数とする。
g(x) = x - k
h(x) = x*(x-1)*…*(x-(k-1))*(x-(k+1))*…*(x-n)/n!
とおくと、
f(x) = g(x)*h(x) と書ける。
積の微分の公式を適用すると、
f'(x) = g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x) = h(x) + g(x)*h'(x)
となる。 f'(x) に x=k を代入すると、
f'(k) = h(k) + g(k)*h'(k) = h(k) + 0*h'(k) = h(k)
となる。
h(k) = k*(k-1)*…*(k-(k-1)) * (k-(k+1))*…*(k-n) / n! = k*(k-1)*…*1 * (-1)*(-2)*…*(-(n-k)) / n!
= k*(k-1)*…*1 * [(-1)^(n-k) * 1*2*…*(n-k)] / n! = (-1)^(n-k) * k! * (n-k)! / n!
であるから、
f'(k) = (-1)^(n-k) * k! * (n-k)! / n!
である。
(-1)^(n-k) = 1 / (-1)^(n-k) であり、 Binomial(n, k) = n! / [k! * (n-k)!] であることを思い出すと、
f'(k) = 1 / [(-1)^(n-k) * Binomial(n, k)]
であることが分かる。
よって、
Σ[k=0,n] {(1-√2)^k}/f'(k) = Σ[k=0,n] (1-√2)^k * [(-1)^(n-k) * Binomial(n, k)]
= Σ[k=0,n] Binomial(n, k) * (-1)^(n-k) * (1-√2)^k
である。
(a + b)^n = Σ[k=0,n] Binomial(n, k) * a^(n-k) * b^k
が成り立つことを思い出し、 a = -1, b = 1-√2 と代入すると、
Σ[k=0,n] Binomial(n, k) * (-1)^(n-k) * (1-√2)^k = [(-1) + (1-√2)]^n = (-√2)^n
が成り立つことが分かる。
∴Σ[k=0,n] {(1-√2)^k}/f'(k) = (-√2)^n
である。
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