- 面白い問題おしえて〜な 34問目
394 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/01/14(木) 19:13:48.56 ID:WlE37ycm - >>391
(1-t^n)/(1-t) = Σ[k=1,n]t^(k-1)
を区間(0,1)で積分し、t=1-x/nと置くと…
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401 ：１３２人目の素数さん[sage]：2021/01/14(木) 21:55:12.93 ID:WlE37ycm - >>399
正解です（これは>>394 のヒントから得られる解答で、他の解答もあります）。
より厳密には(1-x/n)^nをe^(-x)で置き換えた差
Rn = ∫[0,n](e^(-x)-(1-x/n)^n)/x dx
がn→∞で0に収束することを示す必要があるが、これは以下の通り。
|Rn| = ∫[0,n](1-((1-x/n)e^(x/n))^n)/(xe^x) dx
＜∫[0,n](1-((1-x/n)(1+x/n))^n)/(xe^x) dx
≦∫[0,n](n(x/n)^2)/(xe^x) dx
＜∫[0,∞](x/n)e^(-x) dx
＝1/n
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