- 純粋・応用数学(含むガロア理論)5
372 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/11/22(日) 00:09:18.15 ID:22xXPTDc - ついでに、6n+5型の素数が無限に存在することの証明は
「xが正整数のとき、6x+5は、少なくとも一つの6n+5型素数を素因数として持つ」
（6n+1型の素数をいくらかけても6n+1型の整数にしかならないから）
ことから、6Π+5という数を考えれば、同様に証明できる。
|
- 純粋・応用数学(含むガロア理論)5
375 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/11/22(日) 00:36:14.16 ID:22xXPTDc - >>373
正解です。
「(Z/pZ)^× は位数p-1の巡回群である」を先に証明しておけば
単なる群論的性質ですね。
pが6n+5型のときは、3乗して1になる(Z/pZ)^×の元は存在しない。
|
- 純粋・応用数学(含むガロア理論)5
376 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/11/22(日) 00:53:23.11 ID:22xXPTDc - 訂正
pが6n+5型のときは、3乗して*初めて*1になる(Z/pZ)^×の元は存在しない。
|
- 純粋・応用数学(含むガロア理論)5
377 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/11/22(日) 01:16:57.28 ID:22xXPTDc - >>374
逆に任意の6n+1型素数はある整数xに対して
x^2+x+1の素因数としてあらわれるということですね。
一般に、「xが整数を動くとき整数係数既約多項式f(x)
の素因数としてあらわれる素数の集合を記述すること」
という（一般的には非常に難しい）問題が考えられますが
それが可能な古典的なケースが「アーベル多項式」の場合で
「有限個を除いてすべてある等差数列（達）の上に乗っている」
というのが「類体論的現象」とされる性質ですね。
Q上の類体は円分体（及びその部分体）と同義。
|
- 純粋・応用数学(含むガロア理論)5
383 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/11/22(日) 06:54:26.01 ID:22xXPTDc - 訂正>>372
6Π+5だと5で割れてしまいますね(><)
Π=Π_{p:素数, 5<p≦X}p と置き直して
6Π+5 とすればよい。
|
- 純粋・応用数学(含むガロア理論)5
384 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/11/22(日) 06:59:07.86 ID:22xXPTDc - >>378
有限体を使うのかな？
「ζを1の原始9乗根として
ζ + 1/ζ の最小多項式は x^3-3x+1」
とタネ明かしされているので
「x^3-3x+1がZ/pZ=F_p上で一次式の積に分解する」
⇔x^6+x^3+1（ζの最小多項式）がF_p^2上で一次式の積に分解する
⇔|(F_p^2)^*|=p^2-1 が9で割り切れる
⇔p≡±1 (mod 9)
となる。
|
- 純粋・応用数学(含むガロア理論)5
385 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/11/22(日) 07:12:15.54 ID:22xXPTDc - >>382
あのひとはコピペしてコレクトするのが好きなのかな？
とは思います。何が楽しいのかわかりませんが。
>ましてや自分で新しい定理を証明するとかどんな罰ゲームですか
本当に自分で考えて思いついた、誰も証明していない定理が
証明できれば、それはもう夢でしょう。
これほどの快楽はあまり存在しないと思いますね。
まぁ往々にして間違っていたり、遥に一般的な定理が既に
知られていたりするから地獄を見るんですけどね笑
それも含めて、プレイすることにこそ楽しさがあるのでしょうね。
|
- 純粋・応用数学(含むガロア理論)5
387 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/11/22(日) 07:33:20.27 ID:22xXPTDc - >>386
名古屋ですか。友達が住んでますね。
p進L函数で知られる「名古屋のガウス」ともいえる
久保田富雄氏がおられる街ですね。
ぶっちゃけ、ウィキペディアでも結構勉強になる。（自分で補えるなら。）
補えないときは本を買うかな。
最近買った本。
p進ゼータ関数---久保田-レオポルドから岩澤理論へ シリーズゼータの現在 [プリント・レプリカ] Kindle版
青木 美穂 (著)
|
- 純粋・応用数学(含むガロア理論)5
388 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/11/22(日) 07:39:43.72 ID:22xXPTDc - 実は久保田氏とお話したことがあるんですよ。
「p進の話は大したことはない。この仕事にばかり注目が集まるのは本意ではない。
わたしが本当に心血を注いだのはこの論文なんだ」
と示されたことがありました。それをあのガウスのような顔で
キラキラとした目で話されるのでした...。
|