- 分からない問題はここに書いてね464
314 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/11/22(日) 17:37:39.32 ID:0I7s1r1R - (位相)多様体に連結性を仮定すれば次元は一意に定まると思うのですが、どのように証明できますか？
R^nとR^mが同相⇒n=mは用いてもいいです。
| - 分からない問題はここに書いてね464
315 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/11/22(日) 18:11:39.84 ID:0I7s1r1R - >>314
自己解決しました。
次のように証明しましたが、もっと簡単な方法はあるでしょうか？
もし次元が一意に定まらないとする。
このときi=1,2,...に対し、i次元ユークリッド空間と位相同型となるチャートの族の族がえられる。ここで、どこかのi,j(i≠j)ではチャートの族は非空。
よって、iのチャートの族の合併をとったものと、i以外のチャートの族の族で合併を取ったものは、それぞれ非空な開集合。
これらの交わりをとれば、連結であることから非空。
ここで座標変換を取れば矛盾することが分かる。
| - 大学学部レベル質問スレ 14単位目
741 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/11/22(日) 23:47:56.73 ID:0I7s1r1R - fをR^n上の滑らかな関数でf'(p)≠0とします。
このときpの近傍Uと、R^nの開集合Vと、微分同相g:V→Uを、
f(g(x_1,...,x_n))=x_nとなるようにとれることの証明を教えて下さい。
|
|