- 高校数学の質問スレPart408
448 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/11/14(土) 12:32:16.24 ID:cHpRI18i - >>447
(1) z=4 のとき 最小値2/√5
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449 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/11/14(土) 17:06:05.87 ID:cHpRI18i - >>447
(2) -0.5+0.5i
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458 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/11/14(土) 23:32:42.33 ID:cHpRI18i - >>447
>z=a+biと置いたりするのでしょうか。
その方針で解くと
z=a+bi (a,bは実数)
ω=(z+2i)/(z+1)
分母子に(a-bi+1)をかけると
分子=(z+2i)(a-bi+1)=(a+bi+2i)(a-bi+1)= (a^2+a+b^2+2b) +i(2a+b+2)
分母=(z+1)(a-bi+1)=(a+bi+1)(a-bi+1)=(a+1)^2+b^2 (実数)
ω=(a+bi+2i)(a-bi+1)/分母
ωの虚部/ωの実部=分子の虚部/分子の実部=tan(4π/3)=-1
これを変形すれば、
分子の実部+分子の虚部=0
複素数α+iβをα+βに変形するにはこの形でi=1と置換すればいいので
分子のiを1に置換して
a^2+a+b^2+2b +(2a+b+2) = a^2+b^2+3a+3b+2=0
|z|=1ゆえa^2+b^2=1なので
連立方程式
a^2+b^2+3a+3b+2=0
a^2+b^2=1
を解くと
a=-1,b=0
または
a=0,b=-1
z≠-1ゆえa=-1,b=0は不適。
候補はa=0,b=-1
z=a+bi=-i
このとき
ω=(z+2i)/(z+1)=i/(1-i) = -0.5+0.5i
偏角=atan(0.5/(-0.5))=(3/4)π
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460 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/11/14(土) 23:39:50.04 ID:cHpRI18i - >>458
z=cos(x)+i*sin(x)とおいてプログラムで解くと
> f <- function(x){
+ z=cos(x)+1i*sin(x)
+ omega=(z+2i)/(z+1)
+ Arg(omega)
+ }
> curve(f,0,2*pi) ; abline(h=3/4*pi,lty=3)
> low=optimise(f,c(4,5),maximum = T)$maximum
> x=uniroot(function(x)f(x)-3/4*pi,c(low,5))$root
> (z=cos(x)+1i*sin(x))
[1] 0-1i
> (omega=(z+2i)/(z+1))
[1] -0.5+0.5i
こっちの方が労力がいらんな。当然ながら厳密解ではないけど。
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461 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/11/14(土) 23:42:57.55 ID:cHpRI18i - >>459
単純作業はプログラムにさせる。
>458は式を書くだけでも面倒で疲れた。
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463 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/11/14(土) 23:59:55.49 ID:cHpRI18i - >>448
|ω|^2 = f(z)=(z^2+4)/(z+1)^2に
u=z^2+4
v=(z+1)^(-2)として
(uv)=uv'+u'vを使って微分すると
f'(z)=(2(z - 4))/(z + 1)^3
あとは増減表を作って終わり
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