- 分からない問題はここに書いてね463
724 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/10/18(日) 21:38:48.55 ID:PEozMh9/ - >>670
対称性その他諸々を経て、最小面積四角形PQRSについて、
・各頂点における円接線は菱形を成す。
・各頂点は菱形各辺の中点となる。
・菱形の対角線は x軸,y軸に一致する。
となる事が分かる。
P=(+cosθ-L/2, +sinθ-L/2)
Q=(-cosθ+L/2, +sinθ-L/2)
R=(-cosθ+L/2, -sinθ+L/2)
S=(+cosθ-L/2, -sinθ+L/2)
(0 ≦ θ ≦ π/2)
と置くと、PQRS面積: A = (L-2cosθ)(L-2sinθ),
{P接線傾き=} -cosθ/sinθ = (L-2sinθ)/(-L+2cosθ) {=直線QS傾き}
となる。L*(cos-sin) = 2(cos+sin)(cos-sin) と変形して
候補1: cos-sin=0 ∴θ=π/4 , A₁ = (L-2cos)² = (L-√2)²
または
候補2: cos+sin=L/2 ∴sin(θ+π/4)=L/√8 { 2 < L < √8 の時に解が2つ}
A₂ = L²-2L(cos+sin) + 2((cos+sin)²-1) = L²/2 - 2
2 < L ≦ √8 の時、 A = L²/2 - 2 (= A₂ ≦ A₁)
√8 ≦ L の時、 A = (L-√2)² (= A₁)
( >>702 と同じ結果が得られた )
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