- 因数分解によるフェルマーの最終定理の証明
80 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/10/18(日) 20:09:32.62 ID:0U4BdXBc - >>69 日高
> >59
> すみません。よくわからないので、具体的に、どこで間違いになるのか教えてください。
>
> いま、証明しているのは、
> x^3+y^3=z^3です。
いや、そういう意味ではありません。日高さんの証明はx^p+y^p=z^pという式の形を使っていないのでAx^p+By^p=Cz^pに自然数比となる解x,y,zがないことの証明にも使えそうです。たとえば
>>75 日高
は
【定理】pが奇素数のとき、x^p+7y^p=z^pは自然数解x,y,zを持たない。
【証明】x^p+7y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+7y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){7(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+7y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+7y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(3)はp^{1/(p-1)}が無理数なので、x,y,zは整数比とならない。
(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、rが有理数のとき、x,y,zは整数比とならない。
(3)のx,yが無理数のときは、s^p+7t^p=(s+(p^{1/(p-1)})/w}^p…(3')となる。(s,tは有理数、wは無理数)
(4)のrが有理数のとき、x,y,zは整数比とならないので、(3')のrが有理数のときも、s,ｔ,s+(p^{1/(p-1)})/wは整数比とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+7y^p=z^pは自然数解x,y,zを持たない。
とできそうなのですが。
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