- 小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ Part 55
661 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/07/10(金) 11:40:14.55 ID:EkafyRcC - >>653,>>657氏が文章で言ったことをAAにしてみた。
面積図で、縦軸が速さ、横軸が時間とすると、長方形の面積が道のり。
面積60、高さ不明、幅4の白い長方形と
面積60、高さ不明、幅3の黒い長方形を並べる。
2つの縦の長さの平均を求めると正答が得られるのだが
|＿＿＿＿■■■＿＿＿ここ
|￣￣￣￣■■■￣￣￣￣￣
|□□□□■■■
|□□□□■■■
|〜〜〜〜〜〜〜
|□□□□■■■
￣￣￣￣￣￣￣￣￣
いま、横幅の狭いほうが高い。
正答の高さに合わせて黒の上部を(高さの差の半分)切り取って動かすと
|＿＿＿＿＿＿＿＿
|￣■■■■■■￣
|□□□□■■■
|□□□□■■■
|〜〜〜〜〜〜〜
|□□□□■■■
￣￣￣￣￣￣￣￣
白の横幅が広いので足りない。
よって無風時の速度(＝正答)で7時間走った場合、じつは120kmにはならない(120kmを上回る)。
正確には122.5km。
つまり
(120kmを7時間で走る平均速度)
＝(面積120、横幅7の長方形の高さ)
を計算したのでは無風時の速度は出ず、やや小さい値が出る。
この値は往復した際の平均速度ではある。
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663 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/07/10(金) 12:47:54.50 ID:EkafyRcC - わざと形式的にいうと
・(2数の逆数)の平均値
・(2数の平均値)の逆数
が普通は一致しない(*)ことにも帰着させられる。
諦めて代数を使う。
片道の長さ A
往路,復路の所要時間 a,b
とすると
2つの速度の平均は (A/a+A/b)/2=A(1/a+1/b)/2
往復の平均速度は 2A/(a+b)=A×2/(a+b)=A×1/((a+b)/2)
掛かっているAを無視したものが(*)になる。
(*)の証明:
それぞれ計算を進めると
(1/a+1/b)/2=(a+b)/(2ab) と
1/((a+b)/2)=2/(a+b) であり
両者が一致するのは
(a+b)/(2ab)=2/(a+b)
⇔(a+b)(a+b)=2(2ab)
⇔(a+b)^2=4ab
⇔a^2+2ab+b^2=4ab
⇔a^2-2ab+b^2=0
⇔(a-b)^2=0
⇔a-b=0
⇔a=b
つまり a=b ならたまたま一致し、a≠b ならば一致しない
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