- 高校数学の質問スレPart405
327 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/07/07(火) 19:49:31.75 ID:j50dmh7y - >>320
初等的に解けた
というかググったら出てきた
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/84/84-2.pdf
のアイデアを借りる
(a, b, c) の最大公約数が 1 で a^2 = b^2 + c^2 - bc のとき、 a は奇数であり、
b か c の少なくとも一方は奇数である。対称性から c が奇数であると仮定しても一般性を失わない。
条件の式を b についての2次方程式とみなしたときの判別式を D とすると、
D = 4a^2 - 3c^2 となる。 b は整数なので、 D は平方数である。すなわち、
4a^2 - 3c^2 = y^2 を満たす整数 y ≧ 0 が存在する。
c が奇数であると仮定しているので y も奇数であり、特に y > 0 である。このとき、
3c^2 = (2a + y)(2a - y) において p = 2a + y, q = 2a - y と置くと、 p, q は共に奇数であり、
a = (p + q)/4, y = (p - q)/2 となる。
ここでもし p と q に共通の素因数 c_1 が存在すれば、c_1 | a かつ c_1 | c であり、
b = (c ± y)/2 より c_1 | b となるが、これは (a, b, c) の最大公約数が 1 の仮定に矛盾する。
したがって (p, q) は互いに素である。
3c^2 = pq より、 p か q のいずれかは 3 の倍数である。
ここで p が 3 の倍数であると仮定する。このとき、 q は 3 の倍数ではない。また、上の式の形から、
p = 3(p')^2, q = (q')^2 となる整数 p', q' が存在する。 これを
a = (p + q)/4 に代入すると、 a を 3 で割った余りは (q')^2 を 3 で割った余りに一致する。
ゆえに q' は 3 の倍数ではないので、 a を 3 で割った余りは 1 である。
q が 3 の倍数であると仮定した場合も同様である。
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