- フェルマーの最終定理の簡単な証明
221 ：日高[]：2020/05/23(土) 07:04:18.93 ID:Wgq9oPbS - >216
「(3)式に無理数解で整数比の解がある時、(3)式に有理数解がある」
ってやつかな。
はい。そうです。
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- フェルマーの最終定理の簡単な証明
222 ：日高[]：2020/05/23(土) 07:06:48.62 ID:Wgq9oPbS - >217
無理数解については君は何も言えていない。
x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p の無理数解が整数比になるならば、有理数解で、
整数比となります。
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223 ：日高[]：2020/05/23(土) 07:07:55.12 ID:Wgq9oPbS - >218
x=y=1,z=2が反例。
式が、違います。
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224 ：日高[]：2020/05/23(土) 07:09:58.55 ID:Wgq9oPbS - >219
これ、まだ証明されていませんよ。
２項展開すると、わかります。
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225 ：日高[]：2020/05/23(土) 07:13:08.17 ID:Wgq9oPbS - 【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はrが有理数なので、yを有理数とすると、xは有理数となる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
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226 ：日高[]：2020/05/23(土) 07:14:10.72 ID:Wgq9oPbS - 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
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227 ：日高[]：2020/05/23(土) 07:18:32.94 ID:Wgq9oPbS - 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)は、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/aと同じとなる。
r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/aは、
r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^pとなる。
x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^pのx,y,zは、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p
のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
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228 ：日高[]：2020/05/23(土) 07:26:27.35 ID:Wgq9oPbS - >223
係数が、違います。
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230 ：日高[]：2020/05/23(土) 08:42:08.05 ID:Wgq9oPbS - >229
s^p+t^p=u^pは成り立ちますが、s^p+t^p=u^pは(3)式ではありません。
「x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)に無理数で整数比の解x=αs,y=αt,z=αuがあるとき、」
と仮定したので、(3)式となります。
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231 ：日高[]：2020/05/23(土) 09:02:35.55 ID:Wgq9oPbS - 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)と同じとなる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
よって、(3),(5)は、整数比の解を持たない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
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239 ：日高[]：2020/05/23(土) 15:33:13.84 ID:Wgq9oPbS - 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
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240 ：日高[]：2020/05/23(土) 15:40:58.16 ID:Wgq9oPbS - 【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが有理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
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241 ：日高[]：2020/05/23(土) 15:50:21.01 ID:Wgq9oPbS - >232
君が示す必要べき命題はそれじゃない。x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p の無理数解が整数比になることはない、だ。
x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p の解x,y,zが有理数となることはないので、解x,y,zが、
無理数となることは、ありません。
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242 ：日高[]：2020/05/23(土) 15:53:17.82 ID:Wgq9oPbS - >233
うん、確かに式が違う。でも、この場合は君の論法が通用しないことがわかった。
係数の問題だと、思います。
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243 ：日高[]：2020/05/23(土) 15:55:32.88 ID:Wgq9oPbS - >234
嘘。できていない。できていたというならそのメッセージの番号を示しな。
２項展開してみて下さい。
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244 ：日高[]：2020/05/23(土) 16:00:19.27 ID:Wgq9oPbS - >236
s^p+t^p=u^pが等しいのは「x=αs,y=αt,z=αuを代入した(3)式」であって、
「x=s,y=t,z=uを代入した(3)式」ではありません。
どういう意味でしょうか？
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249 ：日高[]：2020/05/23(土) 17:37:18.96 ID:Wgq9oPbS - 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
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250 ：日高[]：2020/05/23(土) 17:38:02.27 ID:Wgq9oPbS - 【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが有理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
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251 ：日高[]：2020/05/23(土) 17:42:12.88 ID:Wgq9oPbS - >245
>>241 日高
無理数になることはありますよ。
示してください。
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- フェルマーの最終定理の簡単な証明
252 ：日高[]：2020/05/23(土) 17:44:31.96 ID:Wgq9oPbS - >246
フェルマーの最終定理の場合には君の論法が通用することを示すのは君の責務だ。
さあ、示してくれたまえ。
249を読んでください。
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253 ：日高[]：2020/05/23(土) 17:46:58.24 ID:Wgq9oPbS - >247
二項展開しろは前にも聞いた。でも最後まで証明できなかったじゃないか。
二項展開した式を示してください。
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254 ：日高[]：2020/05/23(土) 17:56:31.66 ID:Wgq9oPbS - >248
x=αs,y=αt,z=αuを代入したr^(p-1)=pが成り立つとき、
r^(p-1)=pは、rが無理数でないと、成り立ちません。
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- フェルマーの最終定理の簡単な証明
259 ：日高[]：2020/05/23(土) 20:12:40.35 ID:Wgq9oPbS - >255
x=αs,y=αt,z=αuをz=x+rに代入したらrは無理数です。
そうなりますね。
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- フェルマーの最終定理の簡単な証明
261 ：日高[]：2020/05/23(土) 20:18:10.46 ID:Wgq9oPbS - 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
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- フェルマーの最終定理の簡単な証明
262 ：日高[]：2020/05/23(土) 20:19:13.06 ID:Wgq9oPbS - 【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが有理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
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265 ：日高[]：2020/05/23(土) 20:27:20.66 ID:Wgq9oPbS - >256
p=3のときx^3+y^3=(x+√3)^3。x^3+y^3=x^3+3x^2√3+9x+3√3、y^3=3x^2√3+9x+3√3。
y=πとおくとxは無理数になると思うよ。
そう思います。
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- フェルマーの最終定理の簡単な証明
266 ：日高[]：2020/05/23(土) 20:30:14.09 ID:Wgq9oPbS - >260
無理数で整数比の解を調べていない>>249は間違っています。
有理数で、整数比の解がないので、無理数で整数比の解は、ありません。
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269 ：日高[]：2020/05/23(土) 20:39:36.16 ID:Wgq9oPbS - >238
p=r=3の場合に反例A^3+B^3=C^3があったとします。A,B,Cは自然数でC-A=3です。
このとき、x=A/√3,y=B/√3,z=C/√3がx^3+y^3=(x+√3)^3の無理数だが整数比をなす解です。
これで、日高の言ってることと矛盾はありません。だから証明になっていません。
まとめると、
A^3+B^3=(A+1)^3となります。
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- フェルマーの最終定理の簡単な証明
270 ：日高[]：2020/05/23(土) 20:41:33.34 ID:Wgq9oPbS - >263
269が、返事です。
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272 ：日高[]：2020/05/23(土) 20:45:15.29 ID:Wgq9oPbS - >264
>>261って>>249と本文はまったく同じだけど何のためにまた書き込むの？
掲示板で、見るためです。最新50に返る必要をなくすためです。
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273 ：日高[]：2020/05/23(土) 20:46:56.14 ID:Wgq9oPbS - 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
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274 ：日高[]：2020/05/23(土) 20:47:37.46 ID:Wgq9oPbS - 【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが有理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
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275 ：日高[]：2020/05/23(土) 20:52:24.26 ID:Wgq9oPbS - >267
それは間違いであることを>>236で証明済みです。
>>261は間違っています。
236は、理解できません。
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276 ：日高[]：2020/05/23(土) 20:56:11.81 ID:Wgq9oPbS - >268
> p=3のときx^3+y^3=(x+√3)^3。x^3+y^3=x^3+3x^2√3+9x+3√3、y^3=3x^2√3+9x+3√3。
> y=πとおくとxは無理数になると思うよ。
>
> そう思います。
さっきはぼんやりしていましたが、わかりました。
もしもxが有理数だとすると、左辺は有理数体上超越的、右辺は代数的なので、矛盾します。
「左辺は有理数体上超越的、右辺は代数的なので、」
言葉の意味が、わかりません。
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278 ：日高[]：2020/05/23(土) 21:12:42.72 ID:Wgq9oPbS - >271
> A^3+B^3=(A+1)^3となります。
そうだとするとA^3+B^3=(A+3)^3と矛盾します。
x^3+y^3=(x+√3)^3の無理数だが整数比をなす解です。とすると、
x=A/√3,y=B/√3,z=C/√3
(A/√3)^3+(B/√3)^3=((A/√3)+√3)^3
両辺を、(√3)^3で割ると、
A^3+B^3=(A+1)^3となります。
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279 ：日高[]：2020/05/23(土) 21:14:59.68 ID:Wgq9oPbS - >277
実数xが有理数体上代数的とは、xが、方程式「有理数を係数とする多項式=0」の解になること。
超越的とは、代数的でないことを言います。
よくわかりません。
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