- 面白い問題おしえて〜な 32問目
390 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/05/23(土) 20:57:15.99 ID:KUlK5hoA - >>384
必ずしも成り立たない。
Gとして整数全体 Z を考える(加法群としてのZ)。
正規部分群Hとして、偶数全体の集合を考える。
もちろん、ここでの「偶数」は負の数も込めている。
Z ＝ { g_i｜i∈N } と表示できる任意の g：N → Z に対して
#(Z/H) ＝ lim[n→∞] #{ g_i｜i＜n } / #(H∩{ g_i｜i＜n })
が成り立つかどうかを考える。以下では、g：N → Z が全単射のときを考える。
#{ g_i｜i＜n } ＝ n であり、#(Z/H)＝ 2 であるから、
2 ＝ lim[n→∞] n / #(H∩{ g_i｜i＜n })
が成り立つかどうかを考えればよい。そのためには
1/2 ＝ lim[n→∞] #(H∩{ g_i｜i＜n }) / n
が成り立つかどうかを考えればよい。
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391 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/05/23(土) 20:58:17.85 ID:KUlK5hoA - 全単射 g：N → Z を、以下の性質を満たすように作る。
・ g_n が偶数になるのは、3^{2s} ≦ n ＜ 3^{2s＋1} (s＝0,1,2,…) のとき、かつそのときのみ
このような g が存在することは後で見ることにして、先にこのような g に対して
1/2 ＝ lim[n→∞] #(H∩{ g_i｜i＜n }) / n
が成り立たないことを示す。というか、この g に対しては
そもそも lim[n→∞] #(H∩{ g_i｜i＜n }) / n が存在しない。
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392 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/05/23(土) 20:59:40.49 ID:KUlK5hoA - 実際、k≧0 を任意に取る。1≦n＜3^{2k＋1}の範囲内で g_n が偶数になるのは、
3^{2s} ≦ n ＜ 3^{2s＋1} (0≦s≦k) のとき、かつそのときのみだから、
#(H∩{ g_i｜i＜3^{2k＋1} }) ＝ Σ[s＝0〜k](3^{2s＋1}−3^{2s}) ＝ (9^{k＋1}−1) / 4
であり、よって #(H∩{ g_i｜i＜3^{2k＋1} }) / 3^{2k＋1} ＝ 3(1−9^{−(k＋1)}) / 4 である。
特に、limsup[n → ∞] #(H∩{ g_i｜i＜n }) / n ≧ 3/4 である。
次に、1≦n＜3^{2k＋2}の範囲内で g_n が偶数になるのは、
やはり 3^{2s} ≦ n ＜ 3^{2s＋1} (0≦s≦k) のときのみだから、
#(H∩{ g_i｜i＜3^{2k＋2} }) ＝ Σ[s＝0〜k](3^{2s＋1}−3^{2s}) ＝ (9^{k＋1}−1) / 4
であり、よって #(H∩{ g_i｜i＜3^{2k＋2} }) / 3^{2k＋2} ＝ (1−9^{−(k＋1)}) / 4 である。
特に、liminf[n → ∞] #(H∩{ g_i｜i＜n }) / n ≦ 1/4 である。
以上より、そもそも lim[n→∞] #(H∩{ g_i｜i＜n }) / n が存在しない。
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393 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/05/23(土) 21:00:12.23 ID:KUlK5hoA - あとは、上記のような g が存在することを言えばよい。
偶数全体の集合を Z_0 とする(集合としては H ＝ Z_0 である)。
奇数全体の集合を Z_1 とする。以下の4つの集合
Z_0, Z_1, ∪[s＝0〜∞] { n∈N｜3^{2s} ≦ n ＜ 3^{2s＋1} }, ∪[s＝0〜∞] { n∈N｜3^{2s＋1} ≦ n ＜ 3^{2s＋2} }
はどれも可算無限集合であるから、どの2つの間にも全単射が取れる。特に、
全単射 f_0：∪[s＝0〜∞] { n∈N｜3^{2s} ≦ n ＜ 3^{2s＋1} } → Z_0 と
全単射 f_1：∪[s＝0〜∞] { n∈N｜3^{2s＋1} ≦ n ＜ 3^{2s＋2} } → Z_1 を
何でもいいから取っておく。
g：N → Z を以下のように定義する。
g_n ＝ f_0(n) (3^{2s} ≦ n ＜ 3^{2s＋1}, s＝0,1,2…),
g_n ＝ f_1(n) (3^{2s＋1}≦ n ＜ 3^{2s＋2}, s＝0,1,2…)
明らかに g：N → Z は全単射である。また、この g は明らかに
・ g_n が偶数になるのは、3^{2s} ≦ n ＜ 3^{2s＋1} (s＝0,1,2,…) のとき、かつそのときのみ
という性質を満たす。
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