- 不等式への招待 第10章
373 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/03/26(木) 01:44:21.04 ID:zUlAmjt2 - >>301
x = max{a,b,c} で場合分けする方法もある････
(i) 0≦x≦1 のとき
a^2020 - a^2 +4 ≧ a^2018 + 3 > 3, etc.
∴ (左辺) > 27 ≧ (3xx)^3 ≧ (aa+bb+cc)^3.
(ii) x>1 のとき
x^2020 - x^2 +4 > x^26 - x^2 +4 > x^24 +1 +1 +1 > 4 x^6,
∴ (左辺) ≧ 36 x^6 = (4/3)(3xx)^3 ≧ (4/3)(aa+bb+cc)^3.
http://suseum.jp/gq/question/3129 (クロニャンコさん-改)
| - 高校数学の質問スレPart403
920 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/03/26(木) 04:33:19.41 ID:zUlAmjt2 - >>906
の式は
x+y+z ＞ x+y-2z = 2{(x+y)/2 - z}
と訂正します。
ところで･･･
⊿ = (x-y)(y-z)(z-x),
とおくと
〔楠瀬の不等式〕
x^3 +y^3 +z^3 -3xyz ≧ k･｜⊿｜,
k = √(9+6√3) = 4.403669475
等号は (x,y,z) = (0.69666，0.30334，0) のとき。
数学セミナー、1992年7月号、p.59-60 エレ問、優秀賞2
これに倣って
x^3 +y^3 +z^3 -3xyz -2{(x+y)/2 - z}^3 ≧ 4.401355557｜⊿｜,
等号は (x,y,z) = (0.6978192，0，0.3021808) のとき。
| - ピーター・フランクル
57 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/03/26(木) 05:00:28.10 ID:zUlAmjt2 - >>53
うむ。
英語はそうだが、フィジー語では 単数、双数、少数、多数がある。
さらに、「私たち」という時には話し相手を含む包括形と、含まない除外形まである。
毎日新聞 夕刊 3/14 「旅・いろいろ 地球人」フィジー語で暮らす(2)
| - 整数論を勉強するためのスレッド
146 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/03/26(木) 10:19:46.92 ID:zUlAmjt2 - >>143
ウィルソンの定理の拡張
n≧3 に対して
P(n) = Π[1≦m≦n-1, (m,n)=1] m
とおく。このとき
(1) P(n) ≡ ±1 (mod n)
(2) P(n) ≡ -1 (mod n) となるのは
n = p^e, 2p^e (pは奇素数、e≧1)
= 4
のときである。
| - 整数論を勉強するためのスレッド
147 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/03/26(木) 10:25:26.81 ID:zUlAmjt2 - (略証)
(1)
A = { m | 1≦m≦n-1, (m,n)=1}
B = { m | mm≡1 (mod n)}
C = { m | mm≠1 (mod n)}
とおくと Aは乗法群をなす。 A = B + C
m∈A に対しては逆元 m^(-1) が存在する。 >>144
m∈C ならば m と m^(-1) が対をなして相殺する。
Π[m∈C] m = 1,
m∈B ならば m と n-m と対をなすが -1 が残る。(← m≠n-m)
m(n-m) ≡ -mm ≡ -1 (mod n)
Π[m∈B] m = (-1)^(#B/2)
ここで #B は偶数。
よって
P(n) = Π[m∈A] m
= (Π[m∈B] m)･(Π[m∈C] m)
= (-1)^(#B/2)
= ±1
(2)
P(n) ≡ -1 (mod n) ⇔ #B が4の倍数でない。⇔
n = p^e, 2p^e (pは奇素数、e≧1)
= 4
数学セミナー、2000年3月号 NOTE (土岡氏)
*) nの素因数分解における2の指数をe, 相異なる奇素数をk種とすると
#B = 2^k (e=0,1)
= 2^(k+1) (e=2)
= 2^(k+2) (e≧3)
となることが、中国剰余定理とnが素数べきの場合の計算から分かる。
高木貞治：「初等整数論講義」第2版、共立出版 (1971)
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320010017
| - 整数論の一番良い本教えろ [無断転載禁止]©2ch.net
169 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/03/26(木) 10:30:57.77 ID:zUlAmjt2 - ウィルソンの定理の拡張
n≧3に対して
P(n) = Π[1≦m≦n-1, (m,n)=1] m
とおく。このとき
(1) P(n) ≡ ±1 (mod n)
(2) P(n) ≡ -1 (mod n) となるのは
n = p^e, 2p^e (pは奇素数、e≧1)
= 4
のときである。
数学セミナー、2000年3月号、NOTE (土岡氏)
| - 整数論の一番良い本教えろ [無断転載禁止]©2ch.net
170 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/03/26(木) 10:32:28.67 ID:zUlAmjt2 - (略証)
(1)
A = { m | 1≦m≦n-1, (m,n)=1}
B = { m | mm≡1 (mod n)}
C = { m | mm≠1 (mod n)}
とおくと Aは乗法群をなす。A = B + C
m∈A に対しては逆元 m^(-1) が存在する。 >>144
m∈C ならば m と m^(-1) が対をなして相殺する。
Π[m∈C] m ≡ 1 (mod n)
m∈B ならば m と n-m と対をなすが -1 が残る。(← m≠n-m)
m(n-m) ≡ -mm ≡ -1 (mod n)
Π[m∈B] m ≡ (-1)^(#B/2)
ここで #B は偶数。
よって
P(n) = Π[m∈A] m
= (Π[m∈B] m)･(Π[m∈C] m)
≡ (-1)^(#B/2)
= ±1 (mod n)
(2)
P(n) ≡ -1 (mod n) ⇔ #B が4の倍数でない。⇔
n = p^e, 2p^e (pは奇素数、e≧1)
= 4
*) nの素因数分解における2の指数をe, 相異なる奇素数をk種とすると
#B = 2^k (e=0,1)
= 2^(k+1) (e=2)
= 2^(k+2) (e≧3)
となることが中国剰余定理とnが素数べきの場合の計算から分かる。
高木貞治：「初等整数論講義」第2版、共立出版 (1971)
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320010017
| - 分からない問題はここに書いてね458
910 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/03/26(木) 21:24:39.90 ID:zUlAmjt2 - Σ[k=1..n] a[k] = 1 + 1/2 + 1/3 + ･････ + 1/n = H[n],
とおく。
Σ[j=1..k] a[j]/j = Σ[j=1..k] {C(n,j) (-1)^(j-1)} /jj
= Σ[j=1..k] (1/j) Σ[m=1..j] 1/j
= Σ[j=1..k] H[j]/j
= (1/2)H[k]^2 + (1/2)Σ[j=1,k] 1/jj,
まで出た。
Σ[k=1..n] Σ[j=1..k] a[j]/j
= {(n+1)/2}{H[n]^2 - Σ[k=1,n] 1/kk} - H[n],
かな？
H[n] ～ log(n) + γ 【γ = 0.5772...】
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