- 分からない問題はここに書いてね458
905 :901[sage]:2020/03/26(木) 10:34:43.57 ID:IM17g/m8 - 極限操作が雑に見えなくもないので少し書き直しておく (実際は同内容)
0 < ε < 1 とする. Σ[k=1..∞] (1-ε)^k/k = -ln(1-(1-ε)) = -ln(ε) ・・・(1) N を n < N, (1-ε)^N/ε < ε となるようにとる. Σ[k=n+1..N] (1-ε)^k/k = ∫[x=0,1-ε]dx Σ[k=n+1..N] x^{k-1} = ∫[x=0,1-ε]dx (x^n - x^N)/(1-x) = ∫[x=ε,1]dx (1-x)^n/x - α(N) = -ln(ε) + Σ[k=1..n] C{n,k} (-1)^{k} (1-ε^k)/k - α(N) ・・・(2) Nの条件より 0 < α(N) < ε (1)-(2) より Σ[k=1..n] (1-ε)^k/k = Σ[k=1..n] C{n,k} (-1)^{k+1} (1-ε^k)/k + α(N) ε → +0 の極限をとって Σ[k=1..n] 1/k = Σ[k=1..n] C{n,k} (-1)^{k+1} 1/k を得る.
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906 :132人目の素数さん[sage]:2020/03/26(木) 11:46:58.26 ID:IM17g/m8 - 変なとこがあったので訂正
0 < ε < 1 とする. α[N] := ∫[x=0,1-ε]dx x^N/(1-x) β[N] := Σ[k=N+1,∞](1-ε)^k/k N を n < N, (1-ε)^N/ε < ε, β[N] < ε となるよう十分大きくとる. (εに依存) 条件より 0 < α[N] < ε である. Σ[k=1..∞] (1-ε)^k/k = -ln(1-(1-ε)) = -ln(ε) ・・・(1) Σ[k=n+1..N] (1-ε)^k/k = ∫[x=0,1-ε]dx Σ[k=n+1..N] x^{k-1} = ∫[x=0,1-ε]dx (x^n - x^N)/(1-x) = ∫[x=ε,1]dx (1-x)^n/x - α[N] = -ln(ε) + Σ[k=1..n] C{n,k} (-1)^{k} (1-ε^k)/k - α[N] ・・・(2) (1)-(2) より Σ[k=1..n] (1-ε)^k/k + β[N] = Σ[k=1..n] C{n,k} (-1)^{k+1} (1-ε^k)/k + α[N] ε → +0 の極限をとって Σ[k=1..n] 1/k = Σ[k=1..n] C{n,k} (-1)^{k+1} 1/k を得る.
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907 :132人目の素数さん[sage]:2020/03/26(木) 15:42:53.55 ID:IM17g/m8 - もうちょっと頑張ってみた.
Σ[k=1,n] C{n,k}(-1)^{k+1}/k = Σ[k=1,n] ∫[x=0,1]dx C{n,k} (-x)^{k-1} = Σ[k=1,n] ∫[x=0,1]dx C{n,k} (x-1)^{k-1} = ∫[x=0,1]dx { (1+(x-1))^n - 1 } / (x-1) = ∫[x=0,1]dx (x^n - 1) / (x-1) = ∫[x=0,1]dx Σ[k=0,n-1] x^k = Σ[k=1,n] 1/k Σ[j=1..n]a[j]/j = Σ[j=1..n] C{n,j} ∫[x=0,1]dx ∫[y=0,1]dy (-xy)^{j-1} = ∫[x=0,1]dx ∫[y=0,1]dy {1 - (1-xy)^n }/{1 - (1-xy)} = ∫[x=0,1]dx Σ[k=0,n-1] ∫[y=0,1]dy (1-xy)^k = ∫[x=0,1]dx Σ[k=1,n] (1-(1-x)^k) / kx = ∫[x=0,1]dx Σ[k=1,n] (1-x^k) / k(1-x) = Σ[k=1,n] 1/k ∫[x=0,1]dx Σ[m=0,k-1] x^m = Σ[k=1,n] 1/k Σ[m=1,k] 1/m = Σ[k=1,n]Σ[m=1,k] 1/km εやらlog展開を使うなんてアリエネーだろ... と自分でも思っていたのでスッキリした.
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908 :132人目の素数さん[sage]:2020/03/26(木) 18:19:07.01 ID:IM17g/m8 - よりシンプルに...
f(x) := (-1)*Σ[k=1..n] C{n,k}(-x)^k / k f’(x) = Σ[k=1..n] C{n,k}(-x)^{k-1} = (1 - (1-x)^n)/x = (1-(1-x)^n)/(1-(1-x)) = Σ[k=0..n-1] (1-x)^k Σ[k=1,n] C{n,k}(-1)^{k+1}/k = f(1) - f(0) = ∫[x=0,1]dx f’(x) = Σ[k=1..n] 1/k 問2をこの方向でやるのは却って面倒かもしれない.
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909 :132人目の素数さん[sage]:2020/03/26(木) 19:42:03.72 ID:IM17g/m8 - それほどでもなかった.
g(x,y) := (-1)*Σ[k=1..n] C{n,k}(-xy)^k /kk ∂[x]∂[y]g(x,y) = Σ[k=1..n] C{n,k}(-xy)^{k-1} = (1- (1-xy)^n) / xy = (1- (1-xy)^n) / (1- (1-xy)) = Σ[k=0..n-1] (1-xy)^k ∂[x]g(x,y) = ∫dy ... = Σ[k=1..n] (1-(1-xy)^k) / kx {∵ ∂[x]g(x,0)=0} = Σ[k=1..n] y(1-(1-xy)^k) / k(1-(1-xy)) = Σ[k=1..n] Σ[m=0..k-1] y(1-xy)^m / k g(x,y) = ∫dx ... = Σ[k=1..n] Σ[m=1..k] { 1- (1-xy)^m }/mk {∵ g(0,y)=0} ∴ Σ[k=1..n] C{n,k}(-1)^{k+1} /kk = g(1,1) = Σ[k=1..n] Σ[m=1..k] 1/mk
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911 :132人目の素数さん[sage]:2020/03/26(木) 21:49:15.07 ID:IM17g/m8 - さっきの方針に沿って一般化してみた.
f{0} := f(x_1,...,x_m) := -Σ[k=1..n] C{n,k}(-x_1***x_m)^{k} /k^m f{m} := ∂[x_1]...∂[x_m] f = { 1-(1-x_1***x_m)^n } / { 1-(1-x_1***x_m) } = Σ[k_1=0..n-1] (1 -x_1***x_m)^k_1 f{m-1} = ∫ dx_1 f{m} = Σ[k_1=1..n] { 1 - (1 -x_1***x_m)^k_1 }/{ x_2***x_m) } = Σ[k_1=1..n] x_1 { 1 - (1-x_1***x_m)^k_1 }/{ 1 - (1-x_1***x_m) } = Σ[k_1=1..n] (x_1/k_1) Σ[k_2=0..k_1-1] (1-x_1*...*x_m)^k_2 f{m-2} = ∫ dx_2 f{m-1} = Σ[k_1=1..n](x_1/k_1) Σ[k_2=1..k_1] (x_2/k_2){ 1 - (1-x_1***x_m)^k_2 }/{ 1 - (1-x_1***x_m) } = Σ[k_1=1..n](x_1/k_1) Σ[k_2=1..k_1] (x_2/k_2) Σ[k_3=0..k_2-1] (1-x_1*...*x_m)^k_3 . . . ... f{1} = Σ[1≦k_{m-1} ≦...≦k_1≦ n] (x_1***x_{m-1})/ (k_1***k_{m-1}) Σ[k_m=0..k_{m-1}-1] (1-x_1*...*x_m)^k_m f = f{0} = ∫ dx_m f[1] = Σ[1≦k_m≦...≦k_2≦k_1≦n] { 1-(1-x_1*...*x_m)^k_m } /(k_1***k_m) ∴ Σ[k=1..n] C{n,k}(-1)^{k+1} /k^m = Σ[1 ≦ k_1 ≦ k_2 ≦...≦ k_m ≦ n] 1/(k_1*k_2**k_m) なかなか面白い式が得られた.
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912 :132人目の素数さん[sage]:2020/03/26(木) 23:05:40.69 ID:IM17g/m8 - この式から
lim[n→∞] { Σ[k=1..n] C{n,k}(-1)^{k+1} /k^m } / ln(n)^m = 1/m! が得られる.
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