- 現代数学の系譜 カントル 超限集合論2
652 :132人目の素数さん[]:2020/03/26(木) 05:07:22.56 ID:/vnWknlA - >>647
A1:はい A2:はい 逆に質問 Q3:「箱入り無数目」の無限列がR^Nだと、理解していますか? Q4:∞は自然数Nの要素でない、つまり自然数Nには最大元がないと、認めますか?
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660 :132人目の素数さん[]:2020/03/26(木) 12:38:47.54 ID:/vnWknlA - >>657
>.999…00…が.000…00…と同値 {0,…,9}^Nの要素である.999…00…が.000…00…と同値であることは自明 この場合.999…00…の0の開始位置は必ずある自然数dで表される なぜなら、{0,…,9}^Nの要素である無限列のどの桁の位置も 自然数で表されるから >.999…で 9がひとつずつ増えるコーシー列C:c1=.9,c2=.99,c3=.999,・・・を考える >任意の有限 cn=0.99・・9(小数第n位まで9)が、無限 cn=0.99・・9 00・・とみなせる >この数列cn=0.99・・9 00・・と、数列 000…00… とは、 >時枝の定義のしっぽが一致し、決定番号dはd=n+1となる まず.999…=.999…00…ではありません なぜなら.999…のどの桁の値も9だからです そして、.999…は、「コーシー列」のどの項cn=0.99…900…とも同値ではありません なぜなら、どの桁についてもその先の桁で値が9と0で一致しないものが存在するからです つまり.999…と、.99…900…について、 「その先の桁の項が全て一致する先頭の桁」 を一致番号としたとき、その番号は存在しないので これを∞と表記することにした場合、 一致番号が∞となる2列は同値ではない ということです つまり.999…は.000…と同値でなく .999…の決定番号が∞となることもありません (蛇足) >レーヴェンハイム・スコーレムの定理 >「いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は > 無限のモデルを持たねばならない」 上記の定理は「箱入り無数目」とは無関係 なぜならNの有限モデルは存在しないから
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662 :132人目の素数さん[]:2020/03/26(木) 15:33:36.35 ID:/vnWknlA - >>661
決定番号が必ず自然数の値をとることは 尻尾の同値関係と同値類の定義から示されることで 非可測だからといって決定番号が∞になることはない 上記を理解しましたか?
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665 :132人目の素数さん[]:2020/03/26(木) 17:35:58.30 ID:/vnWknlA - >>663
自然数は有限のモデルを持たないことを理解しましょう (自然数全体の集合Nは有限集合にならない) また、 ・最大の自然数は存在しない ・いかなる自然数も自分以上の自然数が無限に存在する ということも理解しましょう (参考) 自然数の定義 ・自然数0が存在する。 ・任意の自然数 a にはその後者 (successor) の自然数 suc(a) が存在する (suc(a) は a + 1 の "意味")。 ・異なる自然数は異なる後者を持つ。つまり a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。(ある種の単射性) ・0はいかなる自然数の後者でもない(0より前の自然数は存在しない)。 ・0がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。
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666 :132人目の素数さん[]:2020/03/26(木) 17:42:23.32 ID:/vnWknlA - >>664
そもそも、>>642の「まず修正」が見当違い .999…は全ての桁の値が9 .999…∈{0,…,9}^Nは、桁の位置が全て自然数で表される .999が実数として1に等しいというのは 「箱入り無数目」とは無関係 無限列としては等しくないから
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667 :132人目の素数さん[]:2020/03/26(木) 17:49:39.28 ID:/vnWknlA - >>666
追伸 3進カントール集合は、3進無限小数のうち1が現れないもの {0,2}^nと考えることができる 0.022…と0.200…は無限列としても数としても異なる
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668 :132人目の素数さん[]:2020/03/26(木) 18:00:43.72 ID:/vnWknlA - (質問)
もしかして ・数列 .9、.99、.999、… の極限は.999… ・そして、数列の各項について .000…と.9000…は同値 (決定番号2) .000…と.9900…は同値 (決定番号3) .000…と.9990…は同値 (決定番号4) … 上記2点から ・.000…と.999…も同値 (決定番号∞) という「論法」を用いてますか?
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671 :132人目の素数さん[]:2020/03/26(木) 19:59:07.97 ID:/vnWknlA - >>670とは関係ないが・・・
∞が超準自然数だとしても「箱入り無数目」の障害にはならない ∞が最大の元となる場合のみ「箱入り無数目」の障害となるが、 最大の元としての∞はペアノの公理の1つである後者の存在と 矛盾するのであり得ない
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675 :132人目の素数さん[]:2020/03/26(木) 20:30:58.83 ID:/vnWknlA - >>674
意味は明瞭 決定番号nが標準自然数でも超準自然数でも、 n+1が存在するからその先の尻尾が得られる 一方∞が最大の要素であって、∞+1が存在しないなら 決定番号が∞の場合、その先の尻尾が得られない 「箱入り無数目」の方法の妨げとなるものは 「決定番号の先の尻尾の非存在」しかない しかし、∞+1が存在しない、という主張は ペアノの公理である後者の存在を真っ向から否定する
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677 :132人目の素数さん[]:2020/03/26(木) 20:41:47.12 ID:/vnWknlA - >>676
>超準モデルもペアノの公理を満たしている でしょう? では∞について、∞<∞+1 となる∞+1の存在を認めるね?
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679 :132人目の素数さん[]:2020/03/26(木) 21:44:36.77 ID:/vnWknlA - (質問)
nが超準自然数でも何の問題もなく「箱入り無数目」の方法が適用できて 超準自然数同士の大小の比較も可能で、箱の中身が的中できることは 全面的に認めますね?
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