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132人目の素数さん
現代数学の系譜 カントル 超限集合論2

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現代数学の系譜 カントル 超限集合論2
652 :132人目の素数さん[]:2020/03/26(木) 05:07:22.56 ID:/vnWknlA
>>647
A1:はい
A2:はい

逆に質問

Q3:「箱入り無数目」の無限列がR^Nだと、理解していますか?
Q4:∞は自然数Nの要素でない、つまり自然数Nには最大元がないと、認めますか?
現代数学の系譜 カントル 超限集合論2
660 :132人目の素数さん[]:2020/03/26(木) 12:38:47.54 ID:/vnWknlA
>>657
>.999…00…が.000…00…と同値

{0,…,9}^Nの要素である.999…00…が.000…00…と同値であることは自明

この場合.999…00…の0の開始位置は必ずある自然数dで表される
なぜなら、{0,…,9}^Nの要素である無限列のどの桁の位置も
自然数で表されるから

>.999…で 9がひとつずつ増えるコーシー列C:c1=.9,c2=.99,c3=.999,・・・を考える
>任意の有限 cn=0.99・・9(小数第n位まで9)が、無限 cn=0.99・・9 00・・とみなせる
>この数列cn=0.99・・9 00・・と、数列 000…00… とは、
>時枝の定義のしっぽが一致し、決定番号dはd=n+1となる

まず.999…=.999…00…ではありません
なぜなら.999…のどの桁の値も9だからです

そして、.999…は、「コーシー列」のどの項cn=0.99…900…とも同値ではありません
なぜなら、どの桁についてもその先の桁で値が9と0で一致しないものが存在するからです

つまり.999…と、.99…900…について、
「その先の桁の項が全て一致する先頭の桁」
を一致番号としたとき、その番号は存在しないので
これを∞と表記することにした場合、
一致番号が∞となる2列は同値ではない
ということです

つまり.999…は.000…と同値でなく
.999…の決定番号が∞となることもありません

(蛇足)
>レーヴェンハイム・スコーレムの定理
>「いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は
> 無限のモデルを持たねばならない」

上記の定理は「箱入り無数目」とは無関係

なぜならNの有限モデルは存在しないから
現代数学の系譜 カントル 超限集合論2
662 :132人目の素数さん[]:2020/03/26(木) 15:33:36.35 ID:/vnWknlA
>>661
決定番号が必ず自然数の値をとることは
尻尾の同値関係と同値類の定義から示されることで
非可測だからといって決定番号が∞になることはない

上記を理解しましたか?
現代数学の系譜 カントル 超限集合論2
665 :132人目の素数さん[]:2020/03/26(木) 17:35:58.30 ID:/vnWknlA
>>663
自然数は有限のモデルを持たないことを理解しましょう
(自然数全体の集合Nは有限集合にならない)

また、
・最大の自然数は存在しない
・いかなる自然数も自分以上の自然数が無限に存在する
ということも理解しましょう

(参考)
自然数の定義
・自然数0が存在する。
・任意の自然数 a にはその後者 (successor) の自然数 suc(a) が存在する  (suc(a) は a + 1 の "意味")。
・異なる自然数は異なる後者を持つ。つまり a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。(ある種の単射性)
・0はいかなる自然数の後者でもない(0より前の自然数は存在しない)。
・0がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。
現代数学の系譜 カントル 超限集合論2
666 :132人目の素数さん[]:2020/03/26(木) 17:42:23.32 ID:/vnWknlA
>>664
そもそも、>>642の「まず修正」が見当違い
.999…は全ての桁の値が9
.999…∈{0,…,9}^Nは、桁の位置が全て自然数で表される

.999が実数として1に等しいというのは
「箱入り無数目」とは無関係
無限列としては等しくないから
現代数学の系譜 カントル 超限集合論2
667 :132人目の素数さん[]:2020/03/26(木) 17:49:39.28 ID:/vnWknlA
>>666
追伸
3進カントール集合は、3進無限小数のうち1が現れないもの
{0,2}^nと考えることができる
0.022…と0.200…は無限列としても数としても異なる
現代数学の系譜 カントル 超限集合論2
668 :132人目の素数さん[]:2020/03/26(木) 18:00:43.72 ID:/vnWknlA
(質問)
もしかして

・数列 .9、.99、.999、… の極限は.999…

・そして、数列の各項について
 .000…と.9000…は同値 (決定番号2)
 .000…と.9900…は同値 (決定番号3)
 .000…と.9990…は同値 (決定番号4)
 …

上記2点から

・.000…と.999…も同値 (決定番号∞)

という「論法」を用いてますか?
現代数学の系譜 カントル 超限集合論2
671 :132人目の素数さん[]:2020/03/26(木) 19:59:07.97 ID:/vnWknlA
>>670とは関係ないが・・・

∞が超準自然数だとしても「箱入り無数目」の障害にはならない

∞が最大の元となる場合のみ「箱入り無数目」の障害となるが、
最大の元としての∞はペアノの公理の1つである後者の存在と
矛盾するのであり得ない
現代数学の系譜 カントル 超限集合論2
675 :132人目の素数さん[]:2020/03/26(木) 20:30:58.83 ID:/vnWknlA
>>674
意味は明瞭

決定番号nが標準自然数でも超準自然数でも、
n+1が存在するからその先の尻尾が得られる

一方∞が最大の要素であって、∞+1が存在しないなら
決定番号が∞の場合、その先の尻尾が得られない

「箱入り無数目」の方法の妨げとなるものは
「決定番号の先の尻尾の非存在」しかない

しかし、∞+1が存在しない、という主張は
ペアノの公理である後者の存在を真っ向から否定する
現代数学の系譜 カントル 超限集合論2
677 :132人目の素数さん[]:2020/03/26(木) 20:41:47.12 ID:/vnWknlA
>>676
>超準モデルもペアノの公理を満たしている

でしょう?

では∞について、∞<∞+1 となる∞+1の存在を認めるね?
現代数学の系譜 カントル 超限集合論2
679 :132人目の素数さん[]:2020/03/26(木) 21:44:36.77 ID:/vnWknlA
(質問)
nが超準自然数でも何の問題もなく「箱入り無数目」の方法が適用できて
超準自然数同士の大小の比較も可能で、箱の中身が的中できることは
全面的に認めますね?


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