- 面白い問題おしえて〜な 31問目
328 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 00:01:24.99 ID:ekmNRCqQ - ちゃんと数学的に書けば
連続関数f,g:[0,1]→[0,1]があり、
f^(-1)(0)=g^(-1)(0)={0}、
f^(-1)(1)=g^(-1)(1)={1}、
である時、連続関数p,q:[0,1]→[0,1]であって
p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1, f(p(t))=g(q(t)) ∀t
を満たすものがとれるか？
です。
f,gの連続性にある程度強い仮定があれば簡単なんですけど。
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329 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 00:02:35.07 ID:ekmNRCqQ - >>328は>>326の続きです。
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331 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 02:57:15.90 ID:ekmNRCqQ - >>330
その程度の関数なら本に載ってる解答の肯定的解答がそのまま通用します。
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333 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 03:17:50.97 ID:ekmNRCqQ - >>332
とりあえず道のりの有限性を仮定すれば大丈夫です。
もう少し緩めてf,gが共に有界変動なら大丈夫です。
問題は有界変動性がないとき、>>328のp,qとして有界変動性がない連続関数まで含めて存在し得ない例を私は持ってないのです。
>>332の例でも本の証明で肯定的に解決されてしまいます。
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334 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 03:42:11.48 ID:ekmNRCqQ - ちなみにfが有界変動連続関数のとき
f1(x)=fの[0,x]における全変動、
f2(x)=f1(x)-f2(x)
とおけば
f(x)=(f1(c)+x)-(f2(x)+x)
と二つの狭義単調増大連続関数の差となります。
gも有界変動連続ならgも同じような分解を持ってしまうので本の証明が通用してしまいます。
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335 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 03:43:07.46 ID:ekmNRCqQ - あ、ポコポコ間違ってるけど適当にエスパーしてください。
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337 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 09:28:04.83 ID:ekmNRCqQ - >>336
今上がってるケースぐらいではp,qは存在するします。
p,qは連続でありさえすれば有界変動性は要求されません。
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338 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 09:32:16.08 ID:ekmNRCqQ - あ、いま上がってるケースくらいならp,qも有界変動に取れます。
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340 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 10:27:02.14 ID:ekmNRCqQ - >>339
あれ？
そうですね？
>>332は反例なってますね？
有界変動じゃないのかな？
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- 数学の本 第89巻
25 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 10:30:09.01 ID:ekmNRCqQ - 正直数学の教科書で誤植ぐらいでガタガタいうなとも思うけど。
Langなんてそもそもステートメント自体条件抜けてたり(反例があったりする)するけど名著連発してる。
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- 面白い問題おしえて〜な 31問目
341 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 10:37:54.73 ID:ekmNRCqQ - ダメだ。すぐにはわからない。
もう問題のレベル下げます。>>328改
連続関数f,g:[0,1]→[0,1]があり、
f^(-1)(0)=g^(-1)(0)={0}、
f^(-1)(1)=g^(-1)(1)={1}、
である時、連続関数p,q:[0,1]→[0,1]であって
p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1, f(p(t))=g(q(t)) ∀t
を満たすものがとれるか？
ただしf,gは区分的に線形(pl)とする。
コレで肯定的に解決します。
有界変動では無理なのかな？
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- 面白い問題おしえて〜な 31問目
342 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 10:39:54.56 ID:ekmNRCqQ - >>341
補足。
PLの区分は有限個までです。
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- 数学の本 第89巻
27 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 10:46:37.61 ID:ekmNRCqQ - ここに答え書かないなら好きにすればいい。
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- Inter-universal geometry と ABC 予想 44
678 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 11:27:40.40 ID:ekmNRCqQ - 下衆い
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- 大学学部レベル質問スレ 13単位目
128 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 13:53:19.98 ID:ekmNRCqQ - 完全である
⇔ 任意のモデルで真であるものは証明できる
の話ではなく？
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- 面白い問題おしえて〜な 31問目
352 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 15:28:01.36 ID:ekmNRCqQ - 僧が3人だとダメなのかな？
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- 面白い問題おしえて〜な 31問目
353 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 15:34:23.96 ID:ekmNRCqQ - >>350
貧乏人も金持ちも途中で降りるのはなし？
必ずどちらかがn+1勝するか、貧乏人が負け越すかまで続けられる？
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- 面白い問題おしえて〜な 31問目
354 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 16:23:42.86 ID:ekmNRCqQ - >>350
貧乏人の獲得賞金をXとする。
最初に貧乏人がi勝する事象をAiとして
E(X|Ai)=iである事をnとiについての帰納法で示す。
n=1では明らか。
またi=nでも明らか。
n<Nで正しいとしてn=Nとしi>Iで正しいとしてi=Iとする。
このとき
E(X|Ai)=
1/2 E(X|Ai ∧ i+1回戦は貧乏人勝ち)
+ 1/2 E(X|Ai ∧ i+1回戦は貧乏人負け)
である。
右辺第1項は帰納法の仮定により(i+1)/2である。
第2項はnが1少ない場合の貧乏人がi-1連勝した状況と同じになるのでやはり帰納法の仮定から(i-1)/2である。
よって主張は示された。
特にi=0の場合により貧乏人の獲得賞金の期待値は0。□
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- 大学学部レベル質問スレ 13単位目
130 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 16:40:22.33 ID:ekmNRCqQ - >>129
それはあってるとも間違ってるとも。
数理論理学で完全性、不完全性といったらゲーデルの定義したそれだと思うけど、その場合
Lが完全⇔Lの任意のモデルで真であるものは証明可能。
Lが不完全⇔Lの命題でそれ自身もその否定も証明できないものが存在する。
の事を指す事が多いけど、その場合"不完全"が"完全でない"の事を意味してない。
例えば自然数論は上の意味で"完全"(１階述語論理は完全)かつ"不完全"(不完全性定理)。
しかしそのサイトは"不完全でない"事を"完全"と言ってるみたい。
間違いではないんだろうけど、どうなんだろ？
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- 面白い問題おしえて〜な 31問目
357 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 17:51:01.49 ID:ekmNRCqQ - 獲得金額ってもちろん参加費差っ引いた額ね。
具体的に書いてみればわかる。
以下Aを貧乏人、Bを金持ちとしてAのw勝l負をw/lで表す。
その時のAの獲得金額xと確率pでおわるときx(p)であらわす。
n=0のとき
1/0→1(1/2)、0/1→-1(1/2)
∴ 期待値0
n=1のとき
2/0→2(1/4)、2/1→1(1/8)、1/2→-1(1/8)、0/1→-1(1/2)
∴期待値0
n=2のとき
3/0→3(1/8)、3/2→2(1/4)、3/1→1(2/32)、
2/3→-1(2/32)、1/2→-1(1/8)、0/1→-1(1/2)
∴期待値0
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- 面白い問題おしえて〜な 31問目
358 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 17:56:55.14 ID:ekmNRCqQ - あ、問題文は
貧乏人が得する確率は
か。
期待値求めるんじやないのね。
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- 面白い問題おしえて〜な 31問目
361 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 19:35:09.97 ID:ekmNRCqQ - >>359とすると
(2^(2n)-C[2n+1,n])/2^(2n+1)
かな？
カタラン数計算するのと同じテク。
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- 大学学部レベル質問スレ 13単位目
132 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 19:46:30.02 ID:ekmNRCqQ - >>131
私の理解の上では"モデルにおいて閉論理式になる"という考え方は無いと思う。
ある論理式φが閉論理式⇔φに現れる変数か全て束縛記号∀か∃のどちらかで束縛されている。
したがって閉論理式はかくモデルごとに真であるか偽であるかが決まる。
統語論的完全性とは
どんな閉論理式φを持ってきてもφかnotφのいずれかが証明できる。
という意味だと思う。
記号や言葉の定義が人によって微妙に違ったりするみたいだからなんとも言えないけど。
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- 面白い問題おしえて〜な 31問目
362 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 20:19:34.18 ID:ekmNRCqQ - あ、違う。
C[2n+1,n]/2^(2n+1)
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- 面白い問題おしえて〜な 31問目
363 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 20:43:56.77 ID:ekmNRCqQ - 気持ちよく期待値0になっておおぉぉぉと思ったけど当たり前なのか‥‥
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- 数学の本 第89巻
40 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 23:03:15.34 ID:ekmNRCqQ - でもこれで数学なんてくだらないと思ってもらえるならありがたいけど。
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