- 巨大数探索スレッド15
505 :132人目の素数さん[sage]:2020/02/14(金) 01:35:31.42 ID:YFlSnpZM - >>504
> ZFから停止性を証明できないアルゴリズムA,B > ZF+ACからAの停止性、Bの非停止性を証明可能 > ZF+¬ACからAの非停止性、Bの停止性を証明可能 そういう事態になったとすれば、ZFが矛盾していることになる 何故ならば、停止性の証明に用いる体系とは無関係に(全てを見通せる神の立場では) アルゴリズムA(Bでも同様)は停止性を有するか有しないかの何れか一方でしかない 今、例えばアルゴリズムAは実は停止性を満たさないとする するとZF+ACは偽の命題を証明してしまったことになるので体系ZF+ACは矛盾していることになる しかしながら、ACのZFに対する相対的無矛盾性(ZFが無矛盾ならばZF+ACも無矛盾)より ZF+ACが矛盾しているということはZFが矛盾していることになる Aが停止性を満たす場合も同様にしてZFが矛盾しているという結論になる (この場合の論証はACのZFに対する独立性を用いる) 従って、 > ZFは無矛盾としておく 限り、最初に引用した3行のような事態は起こり得ない
|