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１３２人目の素数さん
面白い問題おしえて〜な 31問目

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面白い問題おしえて〜な 31問目
330 ：１３２人目の素数さん[]：2020/02/14(金) 01:33:49.02 ID:1dEsnuQN
>>328
f(x)=2x (0≦x<1/4)
f(x)=1/2 (1/4≦x<3/4)
f(x)=2x-1 (1/4≦x≦1)
g(x)=1/2+|x-1/2|sin((π/4)/(x-1/2))
の場合は登山五合目付近でp(t)が不連続になると思われる
面白い問題おしえて〜な 31問目
332 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 02:59:45.62 ID:1dEsnuQN
>>328
条件を強くして道のりが微分可能でもダメみたい。
f(x)=1/2-(1/2)e^(4+1/(x-1/4)) (x<1/4)
f(x)=1/2 (1/4≦x≦3/4)
f(x)=1/2+(1/2)e^(4-1/(x-3/4)) (3/4<x≦1)
g(x)=1/2+8(x-1/2)^4 sin((π/4)/(x-1/2))
のとき
f^(-1)(g(x))は不連続で、f(x)の道の人は無限の距離を歩かないといけない
面白い問題おしえて〜な 31問目
339 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/02/14(金) 09:44:02.90 ID:1dEsnuQN
>>338
>連続関数p,q:[0,1]→[0,1]であって
>p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1, f(p(t))=g(q(t)) ∀t
>を満たすものがとれるか？
の問いに対する
>>332の例でも本の証明で肯定的に解決されてしまいます。
は矛盾するように思えるのだが

>>332の例でp,q連続関数かつf(p(t))=g(q(t))と仮定すると
中間値の定理よりq(th)=1/2となるth∈[0,1]が存在し、
t_0=0と置くとq(t_i)=1/2-1/(4i+2)となるt_i∈[t_(i-1),th] (i=1,2...)が存在する
しかし
p(t_i)=f^(-1)(g(q(t_i)))<1/4 (i:even)
p(t_i)=f^(-1)(g(q(t_i)))>3/4 (i:odd)
さらにt_iは単調有界列だから収束してp(t)はlim t_iで不連続となり矛盾

何か誤解していれば指摘してほしい


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