- 現代数学の系譜 カントル 超限集合論
721 ：現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 07:26:09.28 ID:s6Tab8iq - >>720
おまえの負けだな
１．「信用」？ 数学は信用でやるものだったのか？
２．５CHは、基本は匿名の名無しさんだよね？ 日替わりIDの匿名さんを「信用」？ バカじゃね（＾＾
３．自ら、”自分は数学は不出来で、分かりません”と自白しているってことよね
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722 ：現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 07:47:25.56 ID:s6Tab8iq - >>713
文字化けを直して、再引用しよう
http://web.mat.bham.ac.uk/R.W.Kaye/logic/foundation.html
Foundation and epsilon-induction
(抜粋)
1. Introduction
Either by examining the sets created in the first few levels of the cumulative hierarchy or from other means, via considering the idea of constructions of sets perhaps, we conclude that we do not expect sets to have infinite descending sequences
x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋…
at least for sets in the cumulative hierarchy of constructed sets.
The axioms of Zermelo-Fraenkel set theory are intended to represent axioms true in this hierarchy, so we expect to have an axiom stating there can be no such descending sequence.
Unfortunately, the statement that there is no such descending sequence is not first order, but second order.
This is analogous to the fact that there are nonstandard structures satisfying all first order sentences of arithmetic true in N.
However, the example of arithmetic provides at least one clue as to a powerful axiom scheme true in all structures without infinite descending chains: induction.
Applied to set theory we have the axiom scheme of ∈-induction.
Axiom Scheme of ∈-Induction:
For all first order formulas Φ(x,a￣) of the language L∈, ∀a￣(∀x(∀y∈xΦ(y)→Φ(x))→∀xΦ(x,a￣)).
We are not going to adopt this as an axiom scheme for Zermelo Fraekel because it will follow from other axioms, and it will be instructive to see how that happens. We will, however, adopt the following special case of ∈-Induction.
Axiom of Foundation: ∀x(∃y y∈x→∃y(y∈x∧¬∃z(z∈x∧z∈y))).
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723 ：現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 07:55:52.35 ID:s6Tab8iq - >>722
＜Google翻訳＞（少し手直し）
基礎とイプシロン帰納
（抜粋）
1.はじめに
累積hierarchyの最初のいくつかのレベルで作成された集合を調べることによって、または他の手段から、おそらく集合の構築のアイデアを検討することにより、集合が無限の降順シーケンスを持つことを期待しないと結論付けます
x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋…
少なくとも、構築された集合の累積hierarchy内の集合については。
Zermelo-Fraenkel集合理論の公理は、このhierarchyで真である公理を表すことを目的としているため、このような下降シーケンスは存在できないという公理を持つことが期待されます。
残念ながら、このような降順がないというステートメントは、1次ではなく2次です。
これは、Nで真の算術のすべての1次文を満たす非標準構造があるという事実に類似しています。
ただし、算術の例では、無限の降順チェーンのないすべての構造に当てはまる強力な公理スキームに関する少なくとも1つの手がかりが得られます。
集合論に適用すると、ε-帰納の公理スキームがあります。
ε-帰納の公理スキーム：
言語L∈のすべての一次式Φ（x、a￣）について、∀a￣（∀x（∀y∈xΦ（y）→Φ（x））→∀xΦ（x、a￣））。
Zermelo Fraekelの公理スキームとしてこれを採用するつもりはありません。これは他の公理から得られるものであり、それがどのように起こるかを知ることは有益だからです。ただし、次の特別なケースのε-Inductionを採用します。
基礎公理：∀x（∃yy∈x→∃y（y∈x∧¬∃z（z∈x∧z∈y）））。
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724 ：現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 08:03:47.91 ID:s6Tab8iq - >>723
>累積hierarchyの最初のいくつかのレベルで作成された集合を調べることによって、または他の手段から、おそらく集合の構築のアイデアを検討することにより、集合が無限の降順シーケンスを持つことを期待しないと結論付けます
>x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋…
>少なくとも、構築された集合の累積hierarchy内の集合については。
言いたいことは、単純で
無限の降順シーケンス
x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋…
は、ダメってことね
で、
無限の上昇シーケンス
x0∈x1∈x2∈x3∈x4∈…
は、OKってことね
で、2つのシーケンスを比較する
降順：x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋…
上昇：x0∈x1∈x2∈x3∈x4∈…
シーケンスの長さとしては、どちらも可算無限
で、降順はダメで、上昇はOK
∵ 上昇シーケンスを禁止したら、Zermelo-Fraenkel集合理論の公理から、可算無限 例えば自然数Nの無限列が生まれないから、自然数Nが生まれない
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725 ：現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 08:13:25.11 ID:s6Tab8iq - >>724 つづき
<ノイマン構成>
0 := {}, suc(a) :=a∪{a} と定義する
0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。
自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である[3]。
以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
<Zermelo構成>
0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
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728 ：現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 08:37:06.35 ID:s6Tab8iq - >>725 つづき
<ノイマン構成>にしろ、<Zermelo構成>にしろ
0,1,2,3,・・・たちを集合として見たら
上昇列：0∈1∈2∈3∈4∈…
が構成される
これは、可算無限長の上昇列
で、<ノイマン構成>と<Zermelo構成>とは、一対一対応がつくのです
自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」（>>725）
とあるように、無限集合の公理によりできる集合 M には、自然数Nに余分な（過剰）要素が存在する
（だから、無限集合（＝後者関数について閉じていて）で、共通部分に絞って、過剰要素を落とすのです）
この過剰要素は、有限の要素ではありえない
（∵有限ならば自然数Nの要素）
従って、ノイマン構成では、自然数Nを超える無限要素が構成できる
ノイマン構成とZermelo構成とは、一対一対応がつくから
Zermelo構成にも、自然数Nを超える無限要素が構成できる
それを、{{…}}（>>720）と簡単に表現しただけのことで
もともと、正確な表現って無理でしょ
（何らかの妥協をしないと、簡単な表現はできない）
ところが、簡単にマンガ的に表現したものを攻撃して、「一番右の”}”があるのｂﾈいの・・」とｂｩ
果ては＝A正則性公理に粕ｽするとか、おｂ｢おい
要は、>>713の原文（英文だが）を読んでみなさいってことよ
読めなければ、もともと、この”カントル 超限集合論”スレで議論する力がないってことでしょ
以上
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729 ：現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 08:50:58.90 ID:s6Tab8iq - >>728 補足
ノイマン構成で、下記のカントールの順序数が構成できる
具体的には、ノイマン構成で順序数ωが構成できる
（当たり前だが）
ノイマン構成とZermelo構成とは、その構成法から、一対一対応がつく
（∵ 後者関数が少し違うだけなので、順序列としては当然同型になる（∈列として同型））
よって、Zermelo構成で順序数ωが構成できる
順序数ωを簡便に表現すれば、例えば {{…}} ってことです
（この簡便化した表現をいくら攻撃しても、Zermelo構成の順序数ωの存在は否定できないよ）
QED（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
(抜粋)
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。だがそれで終わりではない。
無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていくのである。
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- 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む43 [無断転載禁止]©2ch.net
164 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 10:00:52.99 ID:s6Tab8iq - おサル＝ID:U/4GdMU6
おサル、下記論旨破綻
おサルの「唯月ふうか」は、IUTと無関係
で、おれのガロアスレ（https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/129）
のあいみょんはIUTと無関係ですよ
そもそも、
１．書いている場所（スレ）が違う
おサルはIUTスレに、IUTと無関係なことを書いている
IUTスレでは、当然IUTと無関係なことはご遠慮くださいってことよ
２．で、あいみょんは、ガロアスレに書いているんだから、「IUTと関係あんのか？」という問いが無意味
（「ガロアと関係あんのか？」なら分かる。抽象化すれば、「スレタイと関係あんのか？」だろうが）
で、ガロアスレの定義は、ガロアスレ79 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/1
より”スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています”、”話題は、散らしながら”と明記してあるよ
ってこと。まあ、おサルは三歳児の低脳だからなぁｗ（＾＾
（参考）
Inter-universal geometry と ABC予想 42
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572150086/795
795 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/12/13(金) 22:40:09.16 ID:U/4GdMU6 [5/5]
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/163
＞「唯月ふうか」・・・って、IUTとどんな脈絡があるんだ？
官能小説愛読者のあいみょんはIUTと関係あんのか？（嘲）
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/129
ちなみに唯月ふうかはもともと
スタダ所属のアイドルmomoこと川上桃子
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- 現代数学の系譜 カントル 超限集合論
735 ：現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 10:04:49.08 ID:s6Tab8iq - おサル、必死の言い繕い
墓穴を大きくするおサルｗ（＾＾；
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- 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79
403 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 10:07:07.22 ID:s6Tab8iq - >>402
なんか、コピペが二重になっているな
ま、ご愛敬
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404 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 10:27:41.78 ID:s6Tab8iq - >>397
＞James Borger
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BD%93
一元体 F1
Borger は有限体や整数環からdescentを用いて[8]、F1 を構成している。
[8]
Borger, James (2009), Λ-rings and the field with one element
https://en.wikipedia.org/wiki/Field_with_one_element
Field with one element F1
Borger used descent to construct it from the finite fields and the integers.[12]
[12]
https://arxiv.org/abs/0906.3146
https://arxiv.org/pdf/0906.3146.pdf
Λ-RINGS AND THE FIELD WITH ONE ELEMENT JAMES BORGER 2009
Abstract. The theory of Λ-rings, in the sense of Grothendieck’s Riemann?
Roch theory, is an enrichment of the theory of commutative rings. In the
same way, we can enrich usual algebraic geometry over the ring Z of integers
to produce Λ-algebraic geometry. We show that Λ-algebraic geometry is in a
precise sense an algebraic geometry over a deeper base than Z and that it has
many properties predicted for algebraic geometry over the mythical field with
one element. Moreover, it does this is a way that is both formally robust and
closely related to active areas in arithmetic algebraic geometry.
つづく
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- 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79
405 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 10:28:37.87 ID:s6Tab8iq - >>404
つづき
Introduction
Many writers have mused about algebraic geometry over deeper bases than the
ring Z of integers. Although there are several, possibly unrelated reasons for this,
here I will mention just two. The first is that the combinatorial nature of enumeration formulas in linear algebra over finite fields Fq as q tends to 1 suggests that,
just as one can work over all finite fields simultaneously by using algebraic geometry over Z, perhaps one could bring in the combinatorics of finite sets by working
over an even deeper base, one which somehow allows q = 1. It is common, following Tits [60], to call this mythical base F1, the field with one element. (See also
Steinberg [58], p. 279.) The second purpose is to prove the Riemann hypothesis.
With the analogy between integers and polynomials in mind, we might hope that
Spec Z would be a kind of curve over Spec F1, that Spec Z ?F1 Z would not only
make sense but be a surface bearing some kind of intersection theory, and that we
could then mimic over Z Weil’s proof [64] of the Riemann hypothesis over function
fields.1 Of course, since Z is the initial object in the category of rings, any theory
of algebraic geometry over a deeper base would have to leave the usual world of
rings and schemes.
つづく
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- 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79
406 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 10:29:03.86 ID:s6Tab8iq - >>405
つづき
The most obvious way of doing this is to consider weaker algebraic structures
than rings (commutative, as always), such as commutative monoids, and to try using them as the affine building blocks for a more rigid theory of algebraic geometry.
This has been pursued in a number of papers, which I will cite below. Another natural approach is motived by the following question, first articulated by Soul´e [57]:
Which rings over Z can be defined over F1? Less set-theoretically, on a ring over
Z, what should descent data to F1 be?
The main goal of this paper is to show that a reasonable answer to this question
is a Λ-ring structure, in the sense of Grothendieck’s Riemann?Roch theory [31].
More precisely, we show that a Λ-ring structure on a ring can be thought of as
descent data to a deeper base in the precise sense that it gives rise to a map from
the big ´etale topos of Spec Z to a Λ-equivariant version of the big ´etale topos of
Spec Z, and that this deeper base has many properties expected of the field with
one element. Not only does the resulting algebraic geometry fit into the supple
formalism of topos theory, it is also arithmetically rich?unlike the category of sets,
say, which is the deepest topos of all. For instance, it is closely related to global
class field theory, complex multiplication, and crystalline cohomology.
(引用終り)
以上
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- 現代数学の系譜 カントル 超限集合論
739 ：現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 15:14:38.44 ID:s6Tab8iq - （＾＾；
「∈列 有限長」ｗｗ
おサル＝ID:uZFmzNJe は、恥かき
”「集合のいかなる∈列も有限長で終わる」
というのが正則性公理ですから”ｗｗ
(>>636より)
Inter-universal geometry と ABC予想 42
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572150086/
701 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/12/07(土) ID:uZFmzNJe [3/3]
>>697
＞正則性公理には反してませんよ、ZFCに反してませんよと強調したかった
しかし∈-loopsは、正則性公理とは矛盾しますけどね
「集合のいかなる∈列も有限長で終わる」
というのが正則性公理ですから
（それゆえ「基礎の公理」とも呼ばれる）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
整礎関係
(抜粋)
数学において、二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。
定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。
X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。
集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、∈ が x の推移閉包上で整礎関係となることと同値である。ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである。
関係 R が X 上で逆整礎 (converse well-founded) または上方整礎 (upwards well-founded) であるとは、R の逆関係 R?1 が X 上の整礎関係であるときにいう。このとき R は昇鎖条件を満たすという。
例
全順序でない整礎関係の例。
・自然数の順序対全体の集合 N × N 上の、(n1, n2) < (m1, m2) ⇔ n1 < m1 かつ n2 < m2 となる順序。
整礎でない関係の例。
・負整数全体 {-1, -2, -3, …} の通常の順序。任意の非有界部分集合が最小元を持たない。
・有理数全体（または実数全体）の標準的な順序（大小関係）。たとえば、正の有理数（または正の実数）全体は最小元を持たない。
(引用終り)
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740 ：現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 15:31:27.74 ID:s6Tab8iq - >>739
＞”「集合のいかなる∈列も有限長で終わる」
じゃ、>>728の
<ノイマン構成>
0,1,2,3,・・・たちを集合として見て
可算無限長の上昇列
0∈1∈2∈3∈4∈…
（当然この列は、ωを超えて延長可能（>>729ご参照））
が否定されるぞｗ（＾＾
おサルよｗｗ
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- 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79
407 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 19:19:28.35 ID:s6Tab8iq - メモ
https://mathsoc.jp/publication/tushin/index18-2.html
「数学通信」第１８巻第２号目次 2013
https://mathsoc.jp/publication/tushin/1802/abe-saito.pdf
阿部知行氏の平成 25 年度文部科学大臣表彰
若手科学者賞受賞に寄せて
東京工業大学理工学研究科理学研究流動機構
斎藤 秀司
(抜粋)
阿部氏に出会ったのは，私が 2004 年に東大数理に赴任して最初の年，彼がまだ大学 3
年生の時である．Deligne の Weil 予想の証明 (Weil II) を勉強したいので付き合ってほし
いと個人的に頼みを受けた．ご存知の方も多いかと思うが，この論文は EGA はもちろん
SGA といった代数幾何の最先端理論を駆使した難解な論文であり，こんな論文を大学３
年生がはたしてどれほど理解できるのかといぶかりながら始めたセミナーであった．が，
彼の理解度は驚くほど深く，その類まれなる才能には目を見張らされた (東大に赴任した
ばかりだったので，東大生はみなこんなにできるのかと驚愕したのだが，これについて
は私の思い過ごしであることがのちに判明している)．修士課程に入って私が指導教官と
なってからも最先端の理論を次々に吸収していく様は見事というしかない．このような逸
材を「研究指導」の名のもとに私の狭量な数学のなかに制約することは憚れる思いであっ
たのだが，そうこうするうちに「数論的 D 加群」という私の専門を逸脱した研究テーマ
を自分で勝手に見つけてくれた．私は立場上は大学院指導教官ではあるが，彼との数学交
流において多くを学ばせてもらっているのは私の方であると感じている．
阿部氏の研究のエッセンスを抜き出して表現すると，大局的な視野に立った問題意識，
問題の本質を見通す深い洞察力，そこから湧き上がる着想を実現する強力な計算力，そし
て忘れてならないのは，阿部氏の数学に脈々と流れる豊かな感性である．阿部氏の数学に
は，多くの優れた業績に共通する芸術的ともいえる美的感覚がある．実は，阿部氏はピア
ニストとしても人並み外れた才能を持っており，彼の音楽的感性が数学にも表現され恩恵
をもたらしているのだろう．
つづき
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- 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79
408 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 19:20:27.33 ID:s6Tab8iq - >>407
つづき
阿部氏の業績を解説するためにまず，その中核をなす「数論的 D 加群」について簡単
に歴史的背景を説明しよう．有限体上の多様体の L 関数に関する Weil 予想に触発された
Grothendieck は，一般の体 (特に有限体) k 上の代数多様体にたいして定義される良いコ
ホモロジー理論 (Weil コホモロジー) のひとつとして ? 進エタール・コホモロジーを導入
した．ここで ? は k の標数 p とは異なる素数で，? 進エタール・コホモロジーは k の絶対
ガロア群が自然に作用する Q? 上の線形空間である．これは C 上の代数多様体の特異コホ
モロジーの数論的類似物とみることができる．しかし，? 進エタール・コホモロジーは代
数多様体の p 進的性質に関する情報を十分に与えるものではないため，Qp 上の線形空間
に値を取る p 進コホモロジー理論の構成が求められることになる．滑らかでアファインな
代数多様体にたいしては Monsky と Washnitzer が，滑らかで固有なときは Grothendieck
がそのようなコホモロジー理論を構成した．Berthelot はこれらを統合かつ一般化して，
リジッド・コホモロジーと呼ばれる一般の代数多様体にたいする p 進コホモロジー理論を
構成した．さらに Berthelot はリジッド・コホモロジーの変動理論ともいえる数論的 D 加
群の理論を提唱した．リジッド・コホモロジーは標数 0 の体上の代数多様体に対するド・
ラーム・コホモロジーの正標数類似であり，数論的 D 加群は柏原らによって詳細に研究
された D 加群の理論の正標数類似と考えられる．数論的 D 加群の構成は標数 0 の場合よ
りはるかに難解で，まず多様体をそれが定義されている体を剰余体とする完備離散付値環
上の形式的スキームに持ち上げ，その上の無限階数を許した微分作用素環を適当な位相に
ついて完備化して定義される．数論的 D 加群は数論幾何の諸問題へのさまざまな応用が
期待される強力な理論である．しかし，いまだ多くの未解決問題が存在する未完成な理論
でもある．
つづく
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- 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79
409 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 19:21:22.30 ID:s6Tab8iq - >>408
つづき
阿部氏は，数論的 D 加群の理論の基礎付けにおいて重要な業績を挙げたのみならず，
Deligne の小同志予想，p 進係数のラングランズ対応，高次元分岐理論といった数論幾何
学の重要問題への応用を与えた．以下これらを解説する．
数論的 D 加群の理論の基礎付けと p 進係数ラングランズ対応 ([Ab6])
(引用終り)
以上
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410 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 20:40:15.13 ID:s6Tab8iq - https://www.jsps.go.jp/j-toplevel/data/08_followup/H25reports/H25Report_j_KavliIPMU.pdf
世界トップレベル研究拠点プログラム（WPI）2013
拠点形成 報告書 （ 延 長 審 査 用 ）
(抜粋)
数論幾何学の歴史は Weil の予想から始まったと言うことができる。彼の予想は、我々の住む
世界とは全く異なるように見える有限体上の世界が、馴染みの位相幾何的な構造をもつことを示
唆していた。それに触発され、Grothendieck は有限体上の多様体に対するコホモロジー論を構築
した。それらは、有限体の標数 pとは異なる任意の素数Ｌ に対するＬ 進エタール・コホモロジーと
クリスタリン・コホモロジー（p進論）と呼ばれている。Ｌ 進コホモロジー論は特異コホモロジー
論の類似物と見なせ、多様体の位相的な性質を反映していると言える。複素幾何学では、特異コホ
モロジーは微分形式を用いることによって計算されるド・ラーム・コホモロジーと同等であること
が知られている。この幾分微分幾何学的な手法の有限体上の類似物がp進コホモロジー論である。
無限に多くのコホモロジー論があるならば、その間の関係を知りたくなるのは自然なことであ
る。ラングランズ対応(LC)の哲学に影響され、Deligne は、数学で最も影響力のある論文の一つで
ある、いわゆる“Weil II”の中で、「Ｌ 進同志」および「クリスタリン小同志」の存在についての
予想を提起した。この予想は、大まかに言えば、どのコホモロジー論を用いるかにかかわらず、コ
ホモロジーの情報は本質的には同じであることを主張している。曲線の場合の Ｌ 進同志の存在につ
いては、関数体に対する LC を確立することにより、Drinfeld が部分的に、Lafforgue が完全に示
した。この功績で彼らはフィールズ賞を受けている。後に、この結果を用いて Deligne と Drinfeld
は、取り扱えない場合もあるものの、より一般的な多様体に対してＬ 進同志を構成した。
つづく
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- 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79
411 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 20:40:35.26 ID:s6Tab8iq - >>410
つづき
阿部知行
の主な成果は、p進論に対する LC の類似物を確立し、曲線の場合のクリスタリン小同志の存在を示
したことである[14]。このためにはp進コホモロジー論における基礎的で困難な一連の研究、即ち、
epsilon 因子の積公式、重さの理論の構築、p進論のある種のスタックに対する 6 つの関手の枠組
みを構築すること、が必要とされた[14,15]。これらの成果は、いずれもp進論においては達成困難
とされていたものである。彼は Berthelot によって導入された数論的????加群の理論を系統的に用い
たが、これは理論の複雑性の故に専門家が回避しがちであったものである。彼の結果は、p進コホ
モロジー論の基礎を完成させると同時に、Ｌ進係数の圏より遙かに広いp進微分方程式の圏を用い
て有限体上の多様体の「モチヴィックな特性」を研究する途を開くものである。
つづく
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412 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 20:41:24.73 ID:s6Tab8iq - >>411
つづき
研究成果 12：有限群とカラビ・ヤウ・ジオメトリの間の新しい関係の発見
大栗博司の長期的な研究目的の一つは、超弦理論のコンパクト化において、厳密な結果を発見
することである。彼は1989年の博士論文で、K3と呼ばれる4次元カラビ-ヤウ空間上の超弦理論のコ
ンパクト化を研究し、粒子のスペクトルがいわゆる楕円種数にまとめられることを示した。驚くべ
きことに、楕円種数をN=4の超共形代数の指標で展開すると、その展開係数が正の整数になること
がわかった。しかし、これが何を意味するのかを見出すのには、その後20年の年月がかかった。2010
年に、大栗は江口徹、立川裕二と共に、これらの整数が最大マシュー群 M24の表現の次元であるこ
とを発見した[19]。このことから彼らはK3の楕円コホモロジーはM24の表現であると予想した。彼ら
の予想の弱いバージョンはマシュー・ムーンシャインと名付けられ、これはその後、アルバータ大
学の数学者Terry Gannonによって、2013年に証明された。
つづく
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- 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79
413 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 20:41:43.62 ID:s6Tab8iq - >>412
つづき
マシュー・ムーンシャイン予想の本質的な要素の一つは、ラマヌジャンによって発見された、
擬モジュラー形式である。ここで、1987年に開催された、ラマヌジャン生誕百周年記念の会議での
フリーマン・ダイソンの講演記録から引用しよう。「擬テータ関数は今後発見されるであろう壮大
な統一像がどんなものかについてワクワクするようなヒントを与える。私の夢は、生きているうち
に、超弦理論の予言を自然界の事実に一致させようという若手物理学者の努力の末、解析的な手法
が擬テータ関数を含むように拡張されるのを見ることだ。」マシュー・ムーンシャインは、擬モジ
ュラー形式、マチュー群、カラビ・ヤウ多様体と超弦理論のコンパクト化の壮大な統一像を示すこ
とにより、ダイソンの夢を実現するものである。過去数年、大栗博司の発見は物理学者、数学者の
双方により精力的に研究されている。それが世界的にインパクトを与えた証拠として、マシュー・
ムーンシャインに関する国際会議がチューリッヒのETH、ストーニーブルックのサイモンズ・セン
ター、ロンドンのインペリアル・カレッジで開催されていることを指摘したい。
[20]において、大栗と山崎雅人（当時は学生、現在は教員）は、カラビ-ヤウ多様体の滑らか
な幾何が、結晶溶解の統計力学的模型の熱力学的極限から得られることを示した。彼らは、特に、
結晶溶解の模型の特性多項式のロンキン関数を、対応するカラビ-ヤウ多様体の正則3形式に関連
付けることによって、溶けた結晶の熱力学的分配関数が、トポロジカルな超弦理論の分配関数の古
典的極限に等しいことを示した。
つづく
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414 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 20:42:05.42 ID:s6Tab8iq - >>413
つづき
研究成果 13：超対称ゲージ理論
2009年に立川裕二はL. F. Alday及びD. Gaiottoと共に、いわゆるAlday-Gaiotto-Tachikawa
予想を提起した。当初、この予想は理論物理学の言葉で表現されたが、すぐに数学的に正確な予
想に再定式化された。それ以来、その予想の大部分は厳密に証明された。当初は制限されたクラ
スの群に対して考察されたが、論文[21]は、一般的な場合について理解する方向に向けて大きく
前進する内容を含んでいる。
物理学と数学の相互作用のもう一つの例として、論文[22]において、立川はO. Aharony及び
N. Seibergと共に、一般的ゲージ理論で従来は無視されていた離散的パラメータを発見した。こ
れらの新しいパラメータを記述する最も良い方法は、代数的トポロジーで盛んに研究されてお
り、1980年代に多くの日本人数学者が貢献したテーマである分類空間のコホモロジーを用いるこ
とである。しかし、分類空間のコホモロジーはこれまで物理学ではほとんど使われていなかっ
た。従って立川がKavli IPMUの連携研究員であることから、直接数学者に質問することが可能で
あったことと共に、全数学分野を広く網羅するKavli IPMUの図書室で図書を参照することができ
たことが非常に役だった。
(引用終り)
以上
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747 ：現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 21:58:33.44 ID:s6Tab8iq - >>743
>ωから降下していく場合、いきなり何かある自然数ｎに降下するから
おサルの墓穴は、笑えるわｗ
下記の
”定義 2.2
（ X, =< ）を全順序とする。Xに無限降下列
a0 > a1 > a2 > ・・・ (ai ∈ X)
が存在しないとき、（ X, =< ）を整列順序という。
別の言い方をすれば、整列順序とは空でないどんな部分集合 Y ⊆ X も最小元を持つよう
な全順序のことである。”
を、熟読しなよ、あほサル（＾＾；
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ja/zengaku-18.html
全学共通科目「現代の数学と数理解析」
数理解析研究所教員によるリレー式講義 （２０１８年度）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/zengaku/18/terui-zengaku2018.pdf
第７回
日時： ２０１８年６月１日（金）
１６：３０−１８：００
場所： 数理解析研究所 ４２０号室
講師： 照井 一成 准教授
題目： NASH村の命名規則：整列擬順序の理論へ
要約：
人名をひらがなで表す。名前AがBに埋め込めるとは、Bからいくつか文字を取り除くと Aになることをいう。
たとえば「ゆか」は「ゆうか」や「かゆかゆ」に埋め込めるが 「かゆゆ」には埋め込めない。
さて、NASH村では次々と子供が生まれていくが、 新生児の命名にはひとつきまりがあり、過去に 生まれた子の名前が新生児の名前に埋め込めてはならないとする。
この命名規則は いつまでも維持可能だろうか？それともいつかは新生児に名前をつけられない事態が 生じるだろうか？
「生じる」というのがHigmanの定理(1952)である。
この定理はNash-WilliamsやKruskal等 多くの研究者によって一般化され、今でも研究は発展し続けている。
本講義ではこの問題を取り掛かりとして、整列擬順序理論の一端を紹介したい。
(抜粋)
定義 2.2
（ X, =< ）を全順序とする。Xに無限降下列
a0 > a1 > a2 > ・・・ (ai ∈ X)
が存在しないとき、（ X, =< ）を整列順序という。
別の言い方をすれば、整列順序とは空でないどんな部分集合 Y ⊆ X も最小元を持つよう
な全順序のことである。どんな集合上にも整列順序をいれられるというのが Zermelo の整列定理である。
これは選択公理と同値である。
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- 現代数学の系譜 カントル 超限集合論
748 ：現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 22:07:10.07 ID:s6Tab8iq - >>747 補足
”定義 2.2
（ X, =< ）を全順序とする。Xに無限降下列
a0 > a1 > a2 > ・・・ (ai ∈ X)”
は、列の長さを言っているんだろ？（＾＾
勝手に、
（>>743）
>ωから降下していく場合、いきなり何かある自然数ｎに降下するから
ってさ、勝手に途中の要素いくつか
列 ・・・<an <an-1 <・・・ で
例えば、an-1 <・・・ を飛ばすのか？
で、有限で御座いますとは
おサルの身勝手数学は、おもろいなーｗｗ（＾＾；
それが許されるなら
無限列は常に有限列になるぞｗ
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- 現代数学の系譜 カントル 超限集合論
749 ：現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 22:09:15.00 ID:s6Tab8iq - >>748 タイポ訂正
列 ・・・<an <an-1 <・・・ で
例えば、an-1 <・・・ を飛ばすのか？
↓
列 ・・・<an <an+1 <・・・ で
例えば、an+1 <・・・ を飛ばすのか？
おサルを笑っていたら
間違えた（＾＾；
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- 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79
415 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 22:33:36.89 ID:s6Tab8iq - 下記で言えるのは
”世界にはSSのペーパーを読んで、
IUTの評価についてはSSに完全に同調している人がたくさんいる”
じゃないかな
なにせ、Peter Scholzeは、フィールズ賞 受賞者だし
本当は、SSのペーパーとIUT論文（500ページ）と、この両方を完全に理解して、評価を下すべきなのだ
ところが、500ページの数学の専門論文を読むことがどれだけ難しいことか、ちょっと考えればすぐ分かること
さて、IUT論文（500ページ）をしっかり読んで理解した人が、世界に何人いるのかってこと
私見だが、IUT全部読んだのは、Ｇくん、Ivan Fesenko、星裕一郎、南出新、あと何人か若い研究者かな
でも、教授クラスになると、IUT論文（500ページ）なんて読む時間取れるのか？ って疑問でしょ（＾＾
加藤文元先生は、焼き肉からのつき合いだから、読んでいるかな？
まあ、だから来年の
2020年度に開催予定の訪問滞在型研究「宇宙際タイヒミューラー理論の拡がり」でしっかり議論して
さらに、日本数学会全体としても、しっかりサポートしてほしいね
Inter-universal geometry と ABC予想 42
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572150086/800-
800 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/12/14(土) 21:28:46.16 ID:ERIdEqm7
これだけは言える
世界にはSSのペーパーを完全に理解し、
IUTの評価についてはSSに完全に同調している人がたくさんいるということ。
勿論その中には日本人もいるだろう（そうであってほしい）
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- 現代数学の系譜 カントル 超限集合論
754 ：現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 23:25:58.64 ID:s6Tab8iq - >>747 補足
”定義 2.2
（ X, =< ）を全順序とする。Xに無限降下列
a0 > a1 > a2 > ・・・ (ai ∈ X)
が存在しないとき、（ X, =< ）を整列順序という。
別の言い方をすれば、整列順序とは空でないどんな部分集合 Y ⊆ X も最小元を持つよう
な全順序のことである。”
（>>740より）
<ノイマン構成>
0,1,2,3,・・・たちを集合として見て
可算無限長の上昇列
0∈1∈2∈3∈4∈…
このような、上昇列は、どんなに長くなって、たとえ無限長になっても
「空でないどんな部分集合 Y ⊆ X も最小元を持つ」が言える
だから、<ノイマン構成>の上昇列は、
「空でないどんな部分集合 Y ⊆ X も最小元を持つ」が言えるから
整列順序である
つまり、正則性公理に反するものではない
Zermelo構成も、上昇列を構成するので
正則性公理に反するものではない
ＱＥＤ
ｗｗ（＾＾；
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755 ：現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE []：2019/12/14(土) 23:30:59.60 ID:s6Tab8iq - >>752
「いかなる超限順序数からの降下列も有限列
これが超限帰納法」
おサル
哀れななんとかさんと、良い勝負だな、おまえｗ（＾＾
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