- フェルマーの最終定理の簡単な証明3
37 :132人目の素数さん[sage]:2019/11/30(土) 08:40:26.93 ID:nQuJ1HaM - >>34
> 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。 > 【証明】x^p+y^p=z^p…@を、z=x+rとおいて、x^p+y^p=(x+r)^p…Aとする。 > Aを積の形に変形してrを求める。x,y,z,r,aは0をのぞく有理数とする。 > Aを(x/r)^p+(y/r)^p=(x/r+1)^p, (y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+…+x/r}, > r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…・ニする。 > ・ヘr^(p-1)=pとなるので、r=p^{1/(p-1)}となる。Aはx^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…・ニなる。 > ・ヘrが無理数となるので、式は成り立たない。 > ・フ右辺に、a(1/a)を掛けるとr^(p-1){(y/r)^p-1}=pa{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…Dとなる。a(1/a)=1となる。 > r^(p-1)=p以外の場合は、r^(p-1)=paとなる。r=(pa)^{1/(p-1)}となるのでrは有理数となる。AはX^p+Y^p=(X+(pa)^{1/(p-1)})^p…Eとなる。 > EのX,Y,ZはCのx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となるので、X:Y:Z=x:y:zとなる。よって、Eも式は成り立たない。 > ∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。 ゴミ。
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