- 分からない問題はここに書いてね456
539 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/11/28(木) 01:07:36.67 ID:ghZZAPQ9 - >>527
A_4 = S_4 / Z_2 より
#(A_4) = #(S_4) / #(Z_2) = 4! / 2 = 12,
V_4 = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ････ クラインの4元群
#(V_4) = 4
さて、(中略) A_4 の交換子は V_4 の元
∴ D(A_4) ⊃ V_4,
また、V_4 は S_4, A_4 の正規部分群であり、剰余群 A_4 / V_4 = H とおくと
#H = #(A_4) / #(V_4) = 12 / 4 = 3,
∴ H はアーベル群。
∴ D(A_4) ⊂ V_4
∴ D(A_4) = V_4
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540 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/11/28(木) 01:20:45.49 ID:ghZZAPQ9 - >>538
Ａn は偶置換だけからなるので、 #Ａn = (1/2)n!
A_4 = ｛e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243),
(2143), (3412), (4321)}
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542 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/11/28(木) 01:34:34.04 ID:ghZZAPQ9 - >>525
〔補題〕
g(t) が 0<t<1 で下に凸ならば
f_n = (1/n)Σ[k=1,n] g(k/(n+1))
は単調増加。
(略証)
Jensenより
g(k/(n+1)) < {(n+1-k)g(k/(n+2)) + k･g((k+1)/(n+2))}/(n+1),
これを右辺に入れて
f_n < f_{n+1},
| - ピタゴラス数をなんと 〜荒らされたので立て直しました〜 [無断転載禁止]©2ch.net
320 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/11/28(木) 02:52:06.52 ID:ghZZAPQ9 - >>316
d) 1以外の三角数は4乗数でない。
( n(n+1)/2 = m^4 は m≧2 なる整数解を持たない。)
n(n+1)/2 >1 が4乗数であれば n, n+1 のうち一方が4乗数で他方が4乗数の2倍。
∴ x^4 - 2y^4 = ±1 に整数解 (x,y) がないことに帰着する。
e) yy = x^3 - x (楕円曲線) は y≠0 なる有理点 (x,y) を持たない。
(証明略)
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321 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/11/28(木) 04:33:24.53 ID:ghZZAPQ9 - >>318
〔補題〕
x^4 + y^4 = zz は xyz≠0 となる自然解 (x,y,z) をもたない。
(略証)
題意をみたす (x,y,z) のうち、zが最小のものをとる。
x,y,z は互いに素であるとしてよい。
xを奇数、ｙを偶数とすれば
xx = aa - bb, yy = 2ab, z = aa + bb,
(aは奇数、bは偶数、互いに素な自然数)
をみたす整数 a, b が存在する。
2abは平方数だから、aは平方数、bは平方数の2倍
a = ZZ, 2b = ss,
また、xx=aa-bb から
x = mm - nn, b = 2mn, a = mm + nn,
(m,nは互いに素な自然数で、偶数と奇数)
をみたす整数 m, n が存在する。
mn = b/2 = (s/2)^2,
となり m, n は互いに素だから
m = XX, n = YY,
(X,Yは互いに素な自然数)
∴ X^4 + Y^4 = nn + mm = a = ZZ,
となる。ところが
z = aa + bb > aa = Z^4,
だから
0 < Z = √a < z^(1/4) (z>1)
つまり (x,y,z) より小さな (X,Y,Z) で
同じ条件をみたすものが存在することになる。
しかしこれは (x,y,z) の最小性と矛盾する。(終)
A.O.ゲルフォント 「方程式の整数解」 東京図書 数学新書5 (1960)
p.71〜74
| - 不等式への招待 第10章
267 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/11/28(木) 22:48:14.44 ID:ghZZAPQ9 - >>263 を改良
S_n = Σ[k=1→n] 1/{(k+1)(k!)^2}^(1/k)
≒ 1.99877613 - (ee/(n+2)){1 - (1/n)log(n)}
S_1 = 0.50
S_2 = 0.78867513459481
S_4 = 1.11596688482249
S_8 = 1.41825957672665
S_16 = 1.6498309820817
S_32 = 1.80276021419195
S_64 = 1.8936289850894
S_128 = 1.9439982730789
S_256 = 1.9707380873724
S_512 = 1.9845718842414
S_1024 = 1.99162226380515
S_2048 = 1.9951849538552
S_4096 = 1.9969766630793
S_8192 = 1.9978753488909
S = 1.99877613
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