- 数学ガチで出来るやつこれ解いてくれ
49 ：イナ ◆/7jUdUKiSM [sage]：2019/11/27(水) 00:48:17.44 ID:jbomkHrk - 前>>48
断面はABに平行な軸を持つ放物線とy軸またはy軸と平行な直線で囲まれた領域で、その面積は題意より、
(2/3)2r{√(r^2+h^2)}/2
=2r{√(r^2+h^2)}/3
原点からBとは逆に、すなわちx軸の負の方向にtだけいったx=-tにめがけてABと平行に入刀すると、
断面の放物線の面積は、
横が2rで、縦がABの(r-t)/2rの長方形内部にちょうど入る。すなわち当該長方形の面積の2/3にあたる。
V1=∫[t=0→r][{(2/3)(r^2-t^2)(r-t){√(r^2+h^2)}/2r]dt
=[2{√(r^2+h^2)}/3r]∫[t=0→r](t^3-rt^2-r^2t+r^3)dt
=[2{√(r^2+h^2)}/3r][t=0→r][t^4/4-rt^3/3-r^2t^2/2+r^3t]
=[2{√(r^2+h^2)}/3r](r^4/4-r^4/3-r^4/2+r^4)
=[2{√(r^2+h^2)}/3r]{(3-4-6+12)/12}r^4
=[(2/3r)(5/12)r^4{√(r^2+h^2)}
=(5r^3/18)√(r^2+h^2)
どうでしょう？
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51 ：イナ ◆/7jUdUKiSM [sage]：2019/11/27(水) 02:29:02.45 ID:jbomkHrk - 前>>49
>>50たしかに。断面の放物線の横は、
2√(r^2-t^2)
断面の面積は、
(2/3)2√(r^2-t^2){√(r^2+h^2)}/2
=2(r^2+h^2)/3
原点からBとは逆に、すなわちx軸の負の方向にtだけいったx=-tにめがけてABと平行に入刀すると、
断面の放物線の面積は、
横が2√(r^2-t^2)で、縦がABの{(r-t)/2r}倍の長方形内部にちょうど入る。すなわち当該長方形の面積の2/3にあたる。
V1=∫[t=0→r][{(2/3)2{√(r^2-t^2)}(r-t){√(r^2+h^2)}/2r]dt
=(2/3r)√(r^2+h^2)∫[t=0→r]√(r^2-t^2)dt
√(r^2-t^2)の積分。
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52 ：イナ ◆/7jUdUKiSM [sage]：2019/11/27(水) 12:18:37.39 ID:jbomkHrk - 前>>51置換積分だな？
V1=∫[t=0→r][{(2/3)2{√(r^2-t^2)}(r-t){√(r^2+h^2)}/2r]dt
=(2/3r)√(r^2+h^2)∫[t=0→r]√(r^2-t^2)dt
=(2/3r)√(r^2+h^2)[r^2-t^2=r^2→0](-2t)(r^2-t^2)^(3/2)/(3/2)
=(2/3r)(2/3){√(r^2+h^2)}(2t)(r^2)^(3/2)
=(2/3r)(2t)(r^2-t^2)^(3/2){√(r^2+h^2)}
=(4/3r)0(r^2)^(3/2)
=(4/3r)0(r^2)^(3/2)
=(4r^2/3)0
=0
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53 ：イナ ◆/7jUdUKiSM [sage]：2019/11/27(水) 20:40:39.09 ID:jbomkHrk - 前>>52大変だった。あってると思うけど、半円錐の体積が底面×高さ×1/3でいいかどうか、そこがちょっと心配。形とか半円の向きとかで同じだかいね？ っていう。垂直で高さ出したからいいとは思うけど。
(2)
円錐Hの体積はπr^2h/3
半円錐の体積はπr^2h/6
平面π0で分割した、
小さいほうの立体の体積をV1,
頂点Aを含む大きいほうの立体の体積をV2とすると、
V1+V2=πr^2h/3――①
π0で切ったABと平行な断面は放物線とy軸で囲まれた領域で、横2r,縦軸{√(r^2+h^2)}/2の長方形にちょうど収まり、その面積は、長方形の2/3にあたる。
断面の面積=(2/3)2r{√(r^2+h^2)}/2
=(2r/3)√(r^2+h^2)
放物線とy軸で囲まれた領域を底辺とした頂点Aへ向かう錘の体積は、高さが平面π0と頂点Aの距離で、三角形の相似により、
高さ=h{r/√(r^2+h^2)}
=rh/√(r^2+h^2)
V2-半円錐=V2-πr^2h/6
=(1/3)(2r/3){√(r^2+h^2)}hr/√(r^2+h^2)
V2=πr^2h/6+2r^2h/9
=(3π+4)r^2h/18
①に代入し、
V1=πr^2h/3-V2
=(3π-4)r^2h/18
V2/V1=(3π+4)/(3π-4)
≒2.47471474
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