- 分からない問題はここに書いてね456
525 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/11/27(水) 01:17:06.99 ID:YEgb5q8J - >>522
題意より
BC = 5, CA = x,
第二余弦定理より
2↑CA・↑CB = CA^2 + BC^2 - AB^2 = xx +25 -16 = xx +9,
また
↑CP_k = (1-t)↑CA + t↑CB,
ここに t = k/(n+1),
よって
CP_k = √(↑CP_k・↑CP_k)
= √{(1-t)^2･xx + (1-t)t(xx+9) + (5t)^2}
= √{(1-t)xx + (9+16t)t},
tについて下に凸 (双曲線) だから、上限は
f_n(x) = (1/n)Σ[k=1,n] CP_k
< ∫[0,1] √{(1-t)xx + (9+16t)t} dt
= (1/64)(x+5)(xx-10x+41) + (1/512)(81-xx)(xx-1)log{(x+9)/(x+1)},
下限は
f_n(x) > f_1(x) = CP_1 = √{(xx+17)/2}, (1<x<9)
f_n(1+0) = 3, (nによらず)
f_n(9-0) = 7, (nによらず)
| - 【数学検定】数学検定（数検）総合スレッド Part.13
603 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/11/27(水) 02:31:24.12 ID:YEgb5q8J - (右)
M = a^3+b^3+c^3 とおくと a,b,c < M^(1/3),
a^4 + b^4 + c^4 < (a^3 + b^3 + c^3)M^(1/3) = M^(4/3),
両辺を3乗する。
(左) コーシーで
(a^3+b^3+c^3)^2 ≦ (aa+bb+cc)(a^4+b^4+c^4),
(a^3+b^3+c^3)^2 ≦ (aa+bb+cc)(a^4+b^4+c^4),
(aa+bb+cc)^2 ≦ (1+1+1)(a^4+b^4+c^4),
辺々掛ける。 等号は a=b=c のとき。
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252 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/11/27(水) 02:32:50.93 ID:YEgb5q8J - (右)
M = a^3+b^3+c^3 とおくと a,b,c < M^(1/3),
a^4 + b^4 + c^4 ≦ (a^3 + b^3 + c^3)M^(1/3) = M^(4/3),
両辺を3乗する。
(左)
コーシーで
(a^3+b^3+c^3)^2 ≦ (aa+bb+cc)(a^4+b^4+c^4),
(a^3+b^3+c^3)^2 ≦ (aa+bb+cc)(a^4+b^4+c^4),
(aa+bb+cc)^2 ≦ (1+1+1)(a^4+b^4+c^4),
辺々掛ける。
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203 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/11/27(水) 02:33:56.76 ID:YEgb5q8J - (右)
M = a^3+b^3+c^3 とおくと a,b,c < M^(1/3),
a^4 + b^4 + c^4 ≦ (a^3 + b^3 + c^3)M^(1/3) = M^(4/3),
両辺を3乗する。
(左)
コーシーで
(a^3+b^3+c^3)^2 ≦ (aa+bb+cc)(a^4+b^4+c^4),
(a^3+b^3+c^3)^2 ≦ (aa+bb+cc)(a^4+b^4+c^4),
(aa+bb+cc)^2 ≦ (1+1+1)(a^4+b^4+c^4),
辺々掛ける。
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314 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/11/27(水) 03:24:23.71 ID:YEgb5q8J - >>269
√2 = 1 + 1/{2 + 1/[2 + 1/(2 + ････)]} = 1 + [2,2,2,2,2,････],
白銀数 1 + √2 = 2 + [2,2,2,2,････],
黄金数 φ = (1+√5)/2 = 1 + 1/{1 + 1/[1 + 1/(1 + ････)]} = 1 + [1,1,1,1,1,･････]
>>270
√3 = 1 + 1/{1 + 1/[2 + 1/(1 + 1/(2 + ･･･))]} = 1 + [1,2,1,2,1,2,････]
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315 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/11/27(水) 14:55:50.87 ID:YEgb5q8J - 〔三平方の定理〕
自然数Nが三個の平方数の和で表されない条件は
n≧0, k≧0 により N = (4^n)(8k+7) と表わされることである。
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316 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/11/27(水) 15:30:54.31 ID:YEgb5q8J - 〔補題3〕
a) 直角三角形の三辺が自然数のとき、その面積は平方数でない。
b) 2つの4乗数の差は平方数でない。
(x^4 - y^4 = zz は自然数解をもたない。)
c) 3つの平方数が等差数列をなしているとき、公差eは平方数でない。
(d-e, d, d+e; e) が4つとも平方数にはならない。
a) → b)
x^4 - y^4 = zz に自然数解があったとすると、
(x^4-y^4, 2(xx)(yy), x^4+y^4) が直角三角形の三辺となり
しかも面積は (xyz)^2 で平方数となり、 a) に矛盾する。
a) ⇔ c)
栗原将人:「フェルマーとワイルスと」
数理科学 (サイエンス社), No.374, p.46-51 (1994/Aug)
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317 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/11/27(水) 16:13:58.32 ID:YEgb5q8J - a)
(a,b,c) を直角三角形の三辺、aa+bb=cc とする。
a,b は互いに素としてよい。aを奇数、bを偶数とすると
a = dd - ee, b = 2de,
と書ける。従って ab/2 = de(d+e)(d-e),
a,b は互いに素だから (d-e,d,d+e; e) も互いに素。
ここで、 (a,b,c) は面積 ab/2 が平方数である直角三角形
のうち最小のものと仮定する。
(d-e,d,d+e; e) は4つとも平方数で
d-e = ii, d = ff, d+e = hh; e = gg,
(f,g,h,i は互いに素な自然数)
と書ける。
(h+i)(h-i) = hh - ii = 2e = 2gg から
h+i,h-i の一方が平方数で、他方は平方数の2倍である。
h+i,h-i が共に偶数だから
h = jj + 2kk, i = |jj - 2kk| (j,kは自然数)
と書ける。
f^2 = d = (hh+ii)/2 = (jj)^2 + (2kk)^2,
となる。従って (jj,2kk,f) が直角三角形の三辺となり
その面積は (jk)^2 で平方数となる。
つまり、(a,b,c) より小さな直角三角形で同じ条件を
みたすものが存在することになる。
しかしこれは (a,b,c) の最小性と矛盾する。 (終)
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318 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/11/27(水) 17:11:21.97 ID:YEgb5q8J - b) 省略
x^4 ＋ y^4 = zz が自然数解をもたないことが次にある。
A.O.ゲルフォント：「方程式の整数解」 東京図書 数学新書5 (1960)
銀林 浩：訳
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319 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/11/27(水) 17:16:58.25 ID:YEgb5q8J - c)
(d-e,d,d+e; e) は4つとも平方数である組のうち、
最小のものと仮定する。
(d-e,d,d+e; e) = (ii, ff, hh; gg)
(f,g,h,i は互いに素な自然数)
と書ける。
(h+i)(h-i) = hh - ii = 2e = 2gg から
h+i,h-i のうち一方が平方数で他方が平方数の2倍である。
(h+i,h-iが共に偶数だから)
h = jj + 2kk, i = |jj - 2kk|,
(j,k は自互いに素な自然数)
と書ける。
ff = d = (hh+ii)/2 = (jj)^2 + (2kk)^2,
となる。従って (jj,2kk,f) が直角三角形の三辺となる。
jj = DD-EE, kk = DE, f = DD+EE
(D,E は互いに素な自然数)
と書ける。その面積は
DE(D+E)(D-E) = (jk)^2 = (平方数),
(D-E,D,D+E; E) は4つとも平方数である。
つまり (d-e,d,d+e; e) より小さな4つ組で
同じ条件をみたすものが存在することになる。
しかしこれは (d-e,d,d+e; e) の最小性と矛盾する。(終)
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