- 分からない問題はここに書いてね454
839 ： 【大凶】 [sage]：2019/08/12(月) 00:39:37.45 ID:R6APndVz - 前>>797
>>824
xyz空間に点(a,b,c)をa＜b＜cとなるようにとり、点(0,0,0)と結んだ直線を対角線とする直方体をこの直線を軸に一回転させると、直方体の通過部分は、
円錐と円錐台をてれこにして円錐台のちっさい側の底面で張りあわせた鼓のような形。
点(0,0,0)も点(a,b,c)もわりと鈍角にとがった頂点。
オリオン座を天地対称にした形。
直方体をz軸に平行に二等分した断面を、縦c横√(a^2+b^2)の長方形で描くと、対角線の長さは題意より、
√(a^2+b^2+c^2)=1
直角三角形の合同とピタゴラスの定理より、円錐および円錐台の半径と高さを特定する。3辺の比はおっきいほうから、
1:c:√(a^2+b^2)
=1:c:√(1-c^2)
円錐=(1/3)π{c^2/(1-c^2)}(1-c^2)
=πc^2/3
鼓形物体の最大半径
=c/√(1-c^2)
対角線中央の底面積(鼓形物体のくびれてる部分の最小断面)
=(1/2){c/√(1-c^2)}(1/c^2)
=1/2c√(1-c^2)
円錐台=(1/3)π{c^2/(1-c^2)}-(1/3)π{1/4c^2(1-c^2)}(1/2)
∴直方体の通過部分の体積
=2(円錐+円錐台)
=2πc^2/3
+2(1/3)π{c^2/(1-c^2)}-2(1/3)π{1/4c^2(1-c^2)}(1/2)
=2πc^2/(1-c^2)-π/12c^2(1-c^2)
=(8c^2-1)π/12c^2(1-c^2)
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842 ：イナ ◆/7jUdUKiSM [sage]：2019/08/12(月) 01:53:22.78 ID:R6APndVz - 前>>839
>>840
a＜b＜cだから、
c=1/√3と仮定したら、aもbも存在しないだろう。
a^2+b^2=1-c^2=1-1/3=2/3
aもbもcより短い。つまりcは、
1/√3＜c
1/√3よりおっきいはずで、その仮定に矛盾する。
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846 ：イナ ◆/7jUdUKiSM [sage]：2019/08/12(月) 10:20:23.27 ID:R6APndVz - 前>>842
>>844
a≦b≦cってことか。立方体も直方体の1つというわけだ。
>>843体積1の直方体を対角線を軸に一回転させると、対角線に対してねじれの位置にある長さcの長辺が通過する部分はなめらかな曲面になるね。
側面が双曲面の鼓の両面に円錐の底面を張りあわせた形になる。
／＼ ／＼
) ( 〉〈
＼／ ＼／
.○ ×
円盤を足し集めるか。さっきより少しおっきなりそうだ。
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847 ：イナ ◆/7jUdUKiSM [sage]：2019/08/12(月) 11:43:16.15 ID:R6APndVz - 前>>846鼓部分を増改修。
xyz空間に点(a,b,c)をa≦b≦cとなるようにとり、点(0,0,0)と結んだ直線を対角線とする直方体をこの直線を軸に一回転させると、直方体の通過部分は、
側面が双曲面の鼓の両面に円錐をてれこにして底面を張りあわせた形。
点(0,0,0)も点(a,b,c)もわりと鈍角にとがった頂点。
オリオン座を天地対称にして側面をなめらかにした形。
直方体を対角線とz軸がなす平面で二等分した断面を、縦c横√(a^2+b^2)の長方形で描くと、対角線の長さは題意より、
√(a^2+b^2+c^2)=1
直角三角形の3辺の比はおっきいほうから、
1:c:√(a^2+b^2)
=1:c:√(1-c^2)
円錐=(1/3)π{c^2/(1-c^2)}(1-c^2)
=πc^2/3
鼓形物体の最大半径
=c/√(1-c^2)
直角三角形の合同とピタゴラスの定理より、
円錐の底面の半径は、
c/√(1-c^2)
円錐の高さは、
1-c^2
双曲面の高さは、
1-2(1-c^2)=2c^2-1
双曲面間の円盤の半径を鼓の底面からの距離t(0≦t≦c^2-1/2)で表すと、
積分する。
∴直方体の通過部分の体積
=2(円錐+側面が双曲面の円台)
=2πc^2/3
+2π∫[t=0→c^2-1/2](双曲面と対角線の距離)^2dt
=
双曲面と対角線の距離すなわち双曲線と直線の距離がtの関数で表せれば積分関数がわかるはず。
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- 面白い問題おしえて～な 29問目
690 ：イナ ◆/7jUdUKiSM [sage]：2019/08/12(月) 14:53:42.75 ID:R6APndVz - 前>>684
>>685
1+2は題意より、2+3
2+3は題意より、3+3
∴与式=3+3=6
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848 ：イナ ◆/7jUdUKiSM [sage]：2019/08/12(月) 19:05:46.19 ID:R6APndVz - 前>>847
たばこの箱の8つの頂点のうちいちばん遠い2つの頂点を親指と中指か薬指ぐらいで挟むように支え、対角線を軸に箱をはじき、超高速で回転させつづけると通過部分がわかる。
できればソフトタイプよりボックスタイプがいい。未開封であればなおよい。
対称軸に対する半径の極大値は上3つ、下3つ。指が触れてない6つの頂点のそれぞれにある。
半径の極大値は上から、
a√(b^2+c^2)=a√(1-a^2)――①
b√(c^2+a^2)=b√(1-b^2)――②
c√(a^2+b^2)=c√(1-c^2)――③
c√(a^2+b^2)=c√(1-c^2)――④
b√(c^2+a^2)=b√(1-b^2)――⑤
a√(b^2+c^2)=a√(1-a^2)――⑥
たばこの箱の場合、
a≦b≦√(a^2+b^2)≦c≦√(c^2+a^2)≦√(b^2+c^2)
だが、√(a^2+b^2)とcの大小関係は決まってない。
大小が変われば②～⑤は順番が入れ替わる。
たばこの12本ある辺のうち指が触れてない6本の辺はねじれの位置にある。
回転軸となる対角線に対してねじれの位置にある6本の辺が描く軌跡は双曲面。
指が触れてる6本の辺とその内側が描く軌跡は円錘で上下あわせて12個。
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