- 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む71
295 ：１３２人目の素数さん[]：2019/06/26(水) 09:21:13.87 ID:Zc8YZMHg - sex lover
| - 数学の本 第84巻
119 ：新訂版序文の人 類太郎[]：2019/06/26(水) 16:52:06.91 ID:Zc8YZMHg - 集合・位相入門 (松坂和夫 数学入門シリーズ 1)
私が数学の道を歩む際の指標になった本
| - 数学の本 第84巻
120 ：１３２人目の素数さん[]：2019/06/26(水) 16:54:18.12 ID:Zc8YZMHg - 古い本に時々あるドイツ文字と, それらに対応してい
るアルファベットの表があり, 他書を読むにも役に立
つ. 全体にわたる詳細な説明の他にも, 他の本に書かれ
ていないことは, いくつかある.
空集合は任意の集合の部分集合であることを, 論理学
の根幹にあるふたつの基礎と対偶の原理を認めるなら
「証明」可能であると明記している. そして納得のい
く証明がある. この部分は(1＋1/3)ページ分で済ませら
れている. しかし抜けは無い.
「{}⊆A」は論理学の立場から観ると「自明」(理論上
明白)なのだが, 高校数学からの接続を図って書かれた
大学数学の本には, 杉浦「解析入門Ⅰ」の付録に本書
より厳密かつ豊潤に書かれてあるくらいだろう.
(選択公理が必然的に必要で通読には必須ではないが)
有限生成な群の極大な部分群の存在証明と線型空間の
基底の存在証明をしている. これらを同じ本で知るこ
とができるのは珍しいだろう. 線型代数の本で基底の
存在証明には, (理論上)自明な選択公理が使われている
が, 本書では無限次元の場合まで含めているのだ.
無限次元の線型空間に基底が存在することを保証する
には, どうしても(自明でない)選択公理が必要になる.
選択公理を適用する具体例と有用性が, 両者により分
かると思う. 他書では, 位相空間論において, 空でない
位相空間の直積が空でないことなど, 位相空間の範囲
で例示されている場合が多い.
ただし, あくまで「存在定理」は構成に何も言えない.
任意有限個の線型結合ではなく任意有限個の線型結合
の極限(ノルム収束)の意味なら, 関数解析における(可
分な)ヒルベルト空間に, 基底は三角関数あるいは多項
式により構成されている. これは数理物理学からの要
請による. 広く知られていないけれど, 可分なバナッハ
空間にも(ノルム収束の)或る意味の基底は存在する. ノ
ルムとバナッハ空間については本書にも説明がある.
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121 ：１３２人目の素数さん[]：2019/06/26(水) 16:55:49.85 ID:Zc8YZMHg - Ｒ^nの点集合論による位相空間の前置き, 距離空間の
前置き, それぞれが先々を見通しているだけではなく,
読者の理解の速さに配慮した形で語られている. 例に
は他書とは違い, 開基, 部分集合の特徴付け, 連続写像,
基本近傍系, などの事項もある. いきなり開集合系を与
えることは最近では少なくなってきたようだが, 初版
から50年を過ぎている今も読み継がれる常に好評な本
書によると考えていいだろう. 距離空間の完備化など
の証明を写されたことも多々ある.
それとは話が外れるが, 他に見習われている本に「実
解析入門」がある. 「解析入門Ⅰ」と同じく「四則演
算可能な全順序集合で四則演算と順序が両立していて
実数の連続性公理を仮定した集合」の元を実数と定義
している. 前者は実数の連続性を「実数の完備性」と
呼んでいる. 参考文献に本書を挙げて, 本書に「連続性
」より「完備性」と呼べば位相の意味と混同しないだ
ろう, とある.
読者に練習問題として任せた, 行間・事項・証明, など
は, どれも何故か解いていて楽しい. 省略された内容は
自ずと実力が高まる程度であり, 節末の問題には, 本文
の拡充も今までの理解を確かめられる問も多い. 見た
ら直ぐに見当や方針が浮かぶ時も, 簡単ではない時も
度々あるが, 自力で解ける時もよくある. そして何故か
問題と向き合うと不思議に面白く感じる.
序文では高校生でも理解できるように説明したとある
. 実際に私は高校生の時に読み始めたのだが, 難なく無
理なく読み進められた. 順序対(順序付けられた組)の定
義は感覚的で, 写像(対応)と同値関係の定義も感覚によ
り述べてから「逆」として「定理」の形で(証明付き
で)述べられているが, (かつての私を含めて)初学者に
は, そのほうが分かりやすいかもしれない.
前半の写像まで読み, そこから位相空間へ進むと早く
読めると感じた. 必要なら位相空間の最小限を済ませ
てから, 解析学の主な舞台である距離空間へ進んで前
の事項を参考にしながら読む方法も, 効率が良いかも
しれない. 誤植は１箇所しかない.
なお, 読みにくさについて私は気にならない程度だと
思う.
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