- 不等式への招待 第10章
149 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/16(日) 07:07:43.58 ID:HwIhVDIU - >>110 (下)
〔問題〕 2019-03
・最大は a_1 = ････ = a_(n-1) = 0, a_n = s のときで (s>1)
最大値 s^(n+1).
・極小点では
(k+1)(a_k)^k = 2t (未定乗数)
より
a_1 = t, a_k = {2t/(k+1)}^(1/k),
このとき
f(t) = t + Σ[k=2,n] {2t/(k+1)}^(1/k)
は単調増加で f(0)=0, f(s) > s だから
f(t)=s は 0<t<s にただ一つの解をもつ。
n=2のとき t = s - {√(1+6s) - 1}/3,
| - 分からない問題はここに書いてね453
554 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/16(日) 10:05:29.45 ID:HwIhVDIU - >>552
〔補題〕
0<k<1 のとき
√{1 - (k･sinφ)^2} ≧ (cosφ)^2 + (sinφ)^2･√(1-kk),
(略証)
マクローリン級数
√(1-X) = 1 - (1/2)X - (1/8)X^2 - (1/16)X^3 - (5/128)X^4 - (7/256)X^5 - ････
より
√{1 - (k･sinφ)^2}
= 1 - (1/2)(k･sinφ)^2 - (1/8)(k･sinφ)^4 - (1/16)(k･sinφ)^6 - (5/128)(k･sinφ)^8 - ････
≧ (cosφ)^2 + (sinφ)^2･{1 - (1/2)k^2 -(1/8)k^4 -(1/16)k^6 -(5/128)k^8 - ････ }
= (cosφ)^2 + (sinφ)^2･√(1-kk), (終)
これより
K = 4a∫[0,π/2] √{1 - (k･sinφ)^2} dφ
≧ 4a∫[0,π/2] {(cosφ)^2 + (sinφ)^2･√(1-kk)} dφ
= πa{1 + √(1-kk)}
= π(a+b)
= (L+M)/2,
| - 分からない問題はここに書いてね453
555 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/16(日) 10:24:12.68 ID:HwIhVDIU - (別証)
1 - (k･sinφ)^2 - {(cosφ)^2 + (sinφ)^2･√(1-kk)}^2
= (sinφ･cosφ)^2 {(1 - kk/2) - √(1-kk)}
= (sinφ･cosφ)^2 (kk/2)^2 / {(1 - kk/2) + √(1-kk)}
≧ 0,
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150 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/16(日) 10:38:35.53 ID:HwIhVDIU - 〔補題554〕
0<k<1 のとき
(1) √{1 - (k･sinφ)^2} ≧ (cosφ)^2 + (sinφ)^2･√(1-kk),
(2) E(k) = ∫[0,π/2] √{1 - (k･sinφ)^2} dφ ≧ (π/4){1 + √(1-kk)},
E(k)は第二種の完全楕円積分
分かスレ４５３−554,555
| - 分からない問題はここに書いてね453
556 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/16(日) 12:51:01.27 ID:HwIhVDIU - (別証)
kk = L(2-L) とおく。
L = 1 - √(1-kk) ≧ 0,
1^2 - (ks)^2 = 1^2 - L(2-L)s^2 = (1-Lss)^2 + (1-ss)(Ls)^2,
s = sinφ,
| - 分からない問題はここに書いてね453
559 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/16(日) 20:38:56.09 ID:HwIhVDIU - 〔補題〕
0<k<1 のとき
(1) √{1 - (k･sinφ)^2} + √{1 -(k･cosφ)^2} ≦ 2√(1 - kk/2),
(2) E(k) ≦ (π/2)√(1 - kk/2),
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151 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/16(日) 20:46:24.95 ID:HwIhVDIU - 〔補題559〕
0<k<1 のとき
(1') 2√(1-kk/2) ≧ √{1 - (k･sinφ)^2} + √{1 - (k･cosφ)^2} ≧ 1 + √(1-kk),
(2') (π/2)√(1-kk/2) ≧ Ｅ(k) ≧ (π/4){1 + √(1-kk)},
| - 分からない問題はここに書いてね453
562 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/16(日) 23:53:32.31 ID:HwIhVDIU - y = √x は上に凸だからJensenで
√{(a cos x)^2 + (b sin x))^2} ≧ a(cos x)^2 + b(sin x)^2,
√{(b cos x)^2 + (a sin x)^2} ≧ b(cos x)^2 + a(sin x)^2,
辺々たす。
>>554 も同様
| - 分からない問題はここに書いてね453
563 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/16(日) 23:56:19.17 ID:HwIhVDIU - >>538 は緩かったでござる。
(1+z)e^(-z) -1 = -zz + (1+z)g(z)
= -zz + (1+z)Σ[k=2,∞] (1/k!)(-z)^k
= -Σ[k=2,∞] {1/(k-1)! - 1/k!}(-z)^k,
(左辺) ≦ Σ[k=2,∞] {1/(k-1)! - 1/k!}|z|^k
≦ |z|^2・Σ[k=2,∞] {1/(k-1)! - 1/k!} (|z|≦1)
= |z|^2,
等号成立は z=-1 のとき。
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