- 高校数学の質問スレPart400
87 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 01:35:55.13 ID:VM0AEHIr - >>82
流れ見てなくて74が高校生に向けたレスだと勘違いしてた、申し訳ありません
43以降の言い争いを見てみたけど、完全にあなたに同意
誤字がやたら多いのは気になるが
「dt=f'(x)dx」に疑問を持つ高校生に対する説明としては>>40が完璧に思われる
そして数学科の人間にとっては各辺を微分形式と思うことで厳密に正しい表記と見なせる、ということだね
突っかかってる側の意見もみたけど正直そちらは何を言いたいのかよく分からなかった
本題とは関係ないけど、K-theoryってGrothendieckが代数幾何の文脈で導入したのが始めでは？
スレチだからあまり広げないほうがいいかもしれんが
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91 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 02:32:15.04 ID:VM0AEHIr - >>88-90
＞微分形式ではdf=f’(x)dxからdf/dx=f’(x)は形式的に導かれるものです
＞微分形式ではdf=f’(x)dxが先にあってdf/dx=f’(x)が形式的
全く違います
そもそも微分形式と関数の微分は別の概念であり、df/dx=f'(x)を形式的な表記などとは考えません
「df=f'(x)dx」という表記が、高校生にとってはただの記号遊びに過ぎず、数学科の学生にとっては厳密に数学的な表記である、というだけです
ちなみに誰も微分形式の考え方を高校生も学ぶべきとは書いてません
念のため書いておくと
df/dx=(d/dx)f
なので、高校数学の段階では、積分記号を抜かしてdxだけ取り出したり、df/dxを分数とみなした計算をしてしまうのは全く意味のない計算です
一方、dxやdtは微分形式としては意味があるので、そこで初めて「df=f'(x)dx」を数学的な意味で捉えることが出来るようになる、という話です
それから、上の方で微分形式の割り算は定義されない、とあなたは書いてますが、ある種の意味で微分形式の割り算は定義されます
初等的な多様体論では普通教わりませんが
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93 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 02:46:52.71 ID:VM0AEHIr - >>92
微分形式の割り算のことですか？
もしそうならスレ違いの質問なので答えるつもりはありません
仮に教えるとしても、微分形式のことをさっぱり理解していないあなたには微分形式から説明する必要がありますしとても面倒でやりたくないですね
もし数学科の学生ならその程度は自分で調べて学ぶことを勧めます
こちらとしてはあくまであなたのレスの誤りを指摘するのみです
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115 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 13:03:06.52 ID:VM0AEHIr - >>102
その定義に従うならば常に
df=(∂f/∂x)Δx
となるので冗長でしょう
広く使われている微分形式の定義とcompatibleでないことからも良くない議論です
一変数で議論してますが、そのやり方で多変数の場合は説明できないのでは？
そもそもdf/dxの本来の意味は「df÷dx」ではなく「fにd/dxを作用させる」という意味です
それは微分形式を用いた議論でも変わりません
一変数では割り算と考えても形式的には正しいですが、多変数では上手くいきません
実際、多変数の場合は区別するために微分の記号は∂/∂xに置き換えます
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118 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 13:05:11.64 ID:VM0AEHIr - >>105
あなたに理解できるか心配ですが簡単に具体例を書いておきます
定義を書くつもりはありませんが、推測は容易でしょう
f(x_0,...,x_n)をn+1次斉次式として、(f=0)⊂P^nがnonsingular (CY) hypersurface Xを定めているとします
このとき(x_0=1)⊂P^nにおいて
dx_1...dx_n/dfは至る所消えないX上の正則n-1次形式を定めます
https://math.stackexchange.com/questions/2337612/explicit-nowhere-vanishing-holomorphic-volume-form-on-quintic-3-fold/2337835
こちらにn=3の場合の詳しい説明が書いています
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121 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 13:16:39.56 ID:VM0AEHIr - >>120
割り算の記号を用いていないだけで、リンク先で解説しているのは2-form dz_1dz_2dz_3/dfです
実際の使用例も貼っておきます
https://imgur.com/a/7ZRr7CS
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144 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 14:33:39.61 ID:VM0AEHIr - なんだ発狂して消えたのか
せっかく書いたので投下しておきます
Mをm次元多様体とします
今の場合は単にM=R^nと考えても構いません
微分1形式の定義は「余接束T*Mの切断」です
微分n形式はΛ^n(T*M)の切断です
Mの局所座標(U,x_i)を取ると、微分1形式はU上dx_iで生成されます
一方、接束TMの切断はベクトル場と呼びますが、こちらはU上∂/∂x_iで生成されます
ベクトル場はC^∞(M)に作用します
局所座標で書くと
∂/∂x:f→∂f/∂x
です
座標を(x_i)→(y_i)と変換すると
dy_i=Σ(∂y_i/∂x_j)dx_j
よって
dy_1...dy_m=∂(y_i)/∂(x_i)•dx_1...dx_m
となります
一変数の場合は
dy=(∂y/∂x)dx (＊)
ですね
以上のように、「関数の微分」と「微分形式」はそもそも独立した概念であり、一方から他方を導くといった関係ではありません
さて、一変数の微分は慣例的に∂/∂xの代わりにd/dxを使うことがありますが、(＊)は形式的に
「dy÷dx=dy/dx」
と見ることができるので、一変数の場合は混乱しないねってだけです
大学の数学では一変数であっても微分は∂/∂xで表すことがよくあります
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146 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 14:34:39.09 ID:VM0AEHIr - つづき
dy/dxをどうしても微分形式の割り算として正当化したいなら、次のようにすることもできます
直線束Lの切断が局所的にtで生成されるとすると、直線束L*の切断は1/tで生成されます
(座標変換を考えると正しいことが分かるでしょう)
これを1次元多様体の余接束T*Mに適用することで、接束TMの切断を1/dxで表すことができます
そしてdy/dx=dy×1/dxをT*M \tensor TM ≡ M×R (自明束) の切断とみなすと、ある意味でdy/dxは微分形式の割り算と見なせています
ただしこれは一変数の特殊事情であり、微分形式を用いる場合は一般の次元で使う場合が殆どなので、わざわざdy/dxを割り算として考える必要はないように思われます
実際、このような回りくどいことをしているテキストは見たことがありません
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