- ■初等関数研究所■
723 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 16:59:06.66 ID:IIziHdYA - Π[j=1 to n]Π[k=1 to n]{4cos^2 πj/(2n+1)+4cos^2 πk/(2n+1)}
| - ■初等関数研究所■
746 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 19:43:32.42 ID:IIziHdYA - 縦3マス、横4マスの12マスのうちランダムに選ばれた
2マスにそれぞれ宝が眠っている
AEIBFJ…の順で縦に宝を探していく方法をとるP君と、
ABCDEFGH…の順で横に宝を探していく方法をとるQ君が、
同時に地点Aから探索を開始した
どっちの方が有利？
ABCD
EFGH
I JK L
P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
完全追尾型多項式が完成しました
宝の個数は2
P1st={12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51}/48
Q1st={12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3}/48
even={10n^2+8n+(-1)^n-9}/8
■Wolframに入力すると既約分数表示になるので御注意
P1st／Q1st
=8(n-1){(n-2)n-6}/{2n(n+2)(6n^2-2n-5)-3(-1)^n+3}+1
| - ■初等関数研究所■
747 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 19:44:17.04 ID:IIziHdYA - P1stとQ1stは、『宝一つの時の自陣当たり数』の二乗と
それぞれの差分を表す関数の和で求められる
■P1stを求める
宝一つの時の自陣当たり数
n(n+1)/2-1 ……①
P1stは①^2と差分の和
差分は0 0 1 3 7 13 22 34 50 70 95 125 161 203
252 308 372 444 525 615……
それを表す関数
(4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48 ……②
計算知能で①^2+②を入力すると
P1st={12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51}/48
■Q1stを求める
宝一つの時の自陣当たり数
n(n+1)/2-1 ……①
Q1stは①^2と差分の和
差分は0 1 2 2 1 -2 -7 -15 -26 -41 -60 -84 -113
-148 -189……
それを表す関数は
(-4n^3+18n^2+28n-3(-1)^n-45)/48 ……③
計算知能で①^2+③を入力すると
Q1st={12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3}/48
■evenを求める
evenは、n(n+1)-1と同着数の和
同着数は1 2 4 6 9 12 16 20 25……
これを表す関数は {2n^2-1+(-1)^(n)}/8 ……④
n(n+1)-1 ……⑤
計算知能で④+⑤を入力すると
even={10n^2+8n+(-1)^n-9}/8
| - ■初等関数研究所■
748 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 19:44:43.84 ID:IIziHdYA - P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
[11,] 4320 4165 161
[12,] 6054 5845 191
[13,] 8261 7987 223
[14,] 11019 10668 258
[15,] 14413 13972 295
[16,] 18533 17988 335
[17,] 23476 22812 377
[18,] 29344 28545 422
[19,] 36246 35295 469
[20,] 44296 43175 519
Table[(12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51)/48,{n,1,20}]
Table[(12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3)/48,{n,1,20}]
Table[(10n^2+8n+(-1)^n-9)/8,{n,1,20}]
| - ■初等関数研究所■
749 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 19:46:33.87 ID:IIziHdYA - 2n x 2n の正方形を
1 x 2 のドミノで埋める場合の数を考えます
たとえば、2x2の正方形を1x2のドミノで埋める場合の数は、2通りです
4x4の正方形を1x2のドミノで埋める場合の数は、36通りです
一般に、n=0,1,2,3,,,,のとき、
1, 2, 36, 6728, 12988816, 258584046368,,,
となり、一般項は、
Π[j=1 to n]Π[k=1 to n]{4cos^2 πj/(2n+1)+4cos^2 πk/(2n+1)}
となるようなのですが、
どのようにその公式が導かれるのでしょうか?
| - ■初等関数研究所■
750 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 19:47:24.25 ID:IIziHdYA - wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Domino_tiling
によると
Temperley & Fisher (1961) and Kasteleyn (1961)
によって独立に発見されたとある
多分元論文は
Temperley, H. N. V.; Fisher, Michael E. (1961),
"Dimer problem in statistical mechanics-an exact result",
Philosophical Magazine, 6 (68): 1061-1063, doi:10.1080/14786436108243366
Kasteleyn, P. W. (1961), "The statistics of dimers on a lattice. I.
The number of dimer arrangements on a quadratic lattice", Physica,
27 (12): 1209-1225, Bibcode:1961Phy....27.1209K, doi:10.1016/0031-8914(61)90063-5.
原論文読むのが早い
| - ■初等関数研究所■
751 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 19:48:11.89 ID:IIziHdYA - これに証明載ってるかも
https://inis.iaea.org/collection/NCLCollectionStore/_Public/38/098/38098203.pdf?r=1&r=1
Section2
A famous result of Kasteleyn [8] and Temperley and Fisher [18] counts the
number of domino tilings of a chessboard (or any other rectangular region).
In this section we explain Kasteleyn's proof.
「ドミノによるタイル張り」(京大･理) 36p.
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kazushi/proceedings/domino.pdf
「長方形領域のドミノタイル張りについて」(青学大･理工) 17p.
http://www.gem.aoyama.ac.jp/~kyo/sotsuken/2010/fujino_sotsuron_2010.pdf
| - ■初等関数研究所■
752 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 19:48:28.87 ID:IIziHdYA - Table[{1-n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)(n-9)(n-10)(n-11)(n-12)/13!}/4,{n,0,13}]
Table[(1-C(0,n-13))/4,{n,0,13}]
| - ■初等関数研究所■
763 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 20:07:54.13 ID:IIziHdYA - >>82
どのスートが出るのも同様に確からしい
ジョーカーを除くトランプのカード52枚から
一枚のカードを箱に入れる
Ωの部分集合を事象と言う
Ω自身は全事象と言う
Ω=｛スペード，ハート，クラブ，ダイヤ｝となる
各 i （1≦i≦4） が根元事象である
ハートが出るという事象A=｛ハート｝で確率P(A)は
P(A)=1/4 となる
最初に箱に入れた時を i
山札をシャッフルしてダイヤが三枚出た後を ｊ として
箱の中のカードがハートであるという事象Aを考える.
A=｛（i，j）| i または j がハート｝
Ω=｛（i，j）|1≦i≦4，1≦j≦49｝となり
この196通りの各要素が根元事象
| - ■初等関数研究所■
764 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 20:08:45.72 ID:IIziHdYA - シャッフル後にダイヤのカードをn枚引いた時に
箱の中にダイヤ以外のスートが出る確率空間は
Ω＝｛（i，j）|1≦i≦4，1≦j≦52-n｝から
#A=4(52-n)-3(51-n)
=208-4n-153+3n
=55-n
#Aは事象Aに含まれる要素の個数
スペード・ハート・クラブの各スートの出る確率は
P(A)=(55-n)/(208-4n)
スペード・ハート・クラブである確率は
P(X)=(165-3n)/(208-4n)
ダイヤである確率は
q=1-(165-3n)/(208-4n)
しかしこのままでは
点(0,1/4),(13,0) を通らない
| - ■初等関数研究所■
765 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 20:09:21.00 ID:IIziHdYA - ■点(0,1/4),(13,0) を通るように二次関数にする
1-(165-3n)/(208-4n) から
1-(165n-3n^2+3b)/(208n-4n^2+4b) とおくと
n=0,b≧1のとき、1/4が出力できる
さらにn=13のときに(165n-3n^2+3b)=(208n-4n^2+4b)
となれば、0が出力できる
このためには、分母を分子よりも小さくして
1-(165n-3n^2+3b)/(208n-7n^2+4b)
その差分をb=117で回収すると完成
∴1-(165n-3n^2+351)/(208n-7n^2+468)
式変形すると
(4n+9)(n-13)/(7n^2-208n-468)
■Wolfram入力
Table[(4n+9)(n-13)/(7n^2-208n-468),{n,0,13}]
| - ■初等関数研究所■
766 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 20:09:36.79 ID:IIziHdYA - Functional Analysis
| - ■初等関数研究所■
767 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 20:10:35.58 ID:IIziHdYA - ■平方完成
y=ax^2-(-a+2)x-a-a+2
=a(x^2-(-a+2)x/a)-a-a+2
=a{(x-(-a+2)/(2a))^2-(-a+2)^2/(4a^2)}-a-a+2
=a(x-(-a+2)/(2a))^2-(-a+2)^2/(4a)-a-a+2
=a(x-(-a+2)/(2a))^2-(-a+2)^2/(4a)-2a+2
=a(x-(-a+2)/(2a))^2-(a^2-4a+4)/(4a)-2a+2
=a(x-(-a+2)/(2a))^2-(a^2-4a+4)/(4a)-(8a^2)/(4a)+(8a)/(4a)
=a(x-(-a+2)/(2a))^2-(a^2-4a+4+8a^2-8a)/(4a)
=a(x-(-a+2)/(2a))^2-(9a^2-12a+4)/(4a)
| - ■初等関数研究所■
768 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 20:11:00.33 ID:IIziHdYA - 初等関数（しょとうかんすう、英: Elementary function）とは、
実数または複素数の1変数関数で、代数関数、指数関数、対数関数、
三角関数、逆三角関数および、それらの合成関数を作ることを
有限回繰り返して得られる関数のことである
ガンマ関数、楕円関数、ベッセル関数、誤差関数などは初等関数でない
初等関数のうちで代数関数でないものを初等超越関数という
双曲線関数やその逆関数も初等関数である
初等関数の導関数はつねに初等関数になる
| - ■初等関数研究所■
769 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 20:12:29.99 ID:IIziHdYA - 384=8!!
53760=2(10!!)+12!!
8755200=8(12!!)+13(14!!)
1805690880=15(14!!)+12(16!!)+9(18!!)
471092428800=10(16!!)+15(18!!)+16(20!!)+5(22!!)
| - ■初等関数研究所■
770 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 20:13:23.44 ID:IIziHdYA - ■フィボナッチ数列（英: Fibonacci sequence）
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,
987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, …
Fn=(1/sqrt(5))(((1+sqrt(5))/2)^n-((1-sqrt(5))/2)^n)
| - ■初等関数研究所■
771 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 20:16:41.04 ID:IIziHdYA - □□■■■□□□□■■■□□
□■■■■■□□■■■■■□
□■■■■■□□■■■■■□
□■■■■■■■■■■■■□
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□□□□■■■■■■□□□□
□□□□□■■■■□□□□□
□□□□□□■■□□□□□□
| - ■初等関数研究所■
772 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 20:18:12.22 ID:IIziHdYA - ガンマ関数とベータ関数
https://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/2006/miya-gamma.pdf
| - ■初等関数研究所■
773 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 20:19:49.24 ID:IIziHdYA - とにかく今はゼータζ(s)だろ
素数とは一体なんなのか？
どんな調和があるのか
物理も化学もそう宇宙も全てが分かる瞬間こそ
素数そしてゼータ関数の解明である
フェルマー解いたワイルズは世界一有名な数学者の一人だろう
ゼータζゼロ点を解明しワイルズを超えたい
| - 代数学総合スレッド Part6
360 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 20:21:09.25 ID:IIziHdYA - Table[((-2)^(1+n)E^2+2Gamma[1+n,-2]+n Gamma[1+n,-2])/(E^2 n!),{n,1,28}]
Table[(e^2(-2)^(n+1)+n Γ(n+1,-2)+2 Γ(n+1,-2))/(e^2 n!),{n,1,28}]
{1, 0, 1, 2/3, 1, 16/15, 11/9, 142/105, 67/45, 4604/2835,
2771/1575, 59086/31185, 86327/42525, 4389248/2027025,
7533469/3274425, 222205682/91216125, 109456873/42567525,
2670957188/986792625, 16332117629/5746615875,
614053057522/206239658625, 1520442379271/488462349375,
126606575859992/38979295480125, 345404844856129/102088631019375,
15773069242557338/4482618980214375, 23501345644011017/6431583754220625,
4671255121834288564/1232720219558953125,
7547413632563686237/1923043542511966875,
23846953668187649602/5873549281427953125}
| - ■初等関数研究所■
774 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 20:22:18.33 ID:IIziHdYA - Table[((-2)^(1+n)E^2+2Gamma[1+n,-2]+n Gamma[1+n,-2])/(E^2 n!),{n,1,28}]
Table[(e^2(-2)^(n+1)+n Γ(n+1,-2)+2 Γ(n+1,-2))/(e^2 n!),{n,1,28}]
{1, 0, 1, 2/3, 1, 16/15, 11/9, 142/105, 67/45, 4604/2835,
2771/1575, 59086/31185, 86327/42525, 4389248/2027025,
7533469/3274425, 222205682/91216125, 109456873/42567525,
2670957188/986792625, 16332117629/5746615875,
614053057522/206239658625, 1520442379271/488462349375,
126606575859992/38979295480125, 345404844856129/102088631019375,
15773069242557338/4482618980214375, 23501345644011017/6431583754220625,
4671255121834288564/1232720219558953125,
7547413632563686237/1923043542511966875,
23846953668187649602/5873549281427953125}
| - ■初等関数研究所■
775 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 20:23:17.97 ID:IIziHdYA - 第一種の合流型超幾何関数（クンマー）
1Ｆ1[a; b; z] = 1+Σ[k=1, ∞] {a(a+1)････(a+k-1)/b(b+1)････(b+k-1)} z^k/k!
1Ｆ1[-n; -2n; z] = {n!/(2n)!} Σ[k=0, n] {(2n-k)!/(n-k)!k!} z^k
| - 【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】
362 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 20:24:04.98 ID:IIziHdYA - 第一種の合流型超幾何関数（クンマー）
1Ｆ1[a; b; z] = 1+Σ[k=1, ∞] {a(a+1)････(a+k-1)/b(b+1)････(b+k-1)} z^k/k!
1Ｆ1[-n; -2n; z] = {n!/(2n)!} Σ[k=0, n] {(2n-k)!/(n-k)!k!} z^k
| - ■初等関数研究所■
786 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 21:37:26.03 ID:IIziHdYA - cos π/5 +i sin π/5
| - 分からない問題はここに書いてね453
553 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 21:39:08.56 ID:IIziHdYA - cos π/5 +i sin π/5
| - ■初等関数研究所■
789 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 21:41:02.13 ID:IIziHdYA - 例えば、6なら、
6→3→10→5→16→8→4→2→1
のように、偶数なら2で割り、奇数なら3倍に1を足すのを
繰り返して、1になるまでの回数(∈Ｎ)
この数列がすべての自然数で定義されるかどうかの
証明は知りません
| - ■初等関数研究所■
792 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 21:42:18.62 ID:IIziHdYA - Table[(1!/(1-k)!)/k!,{k,1,20}]
{1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}
| - ■初等関数研究所■
794 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 21:43:01.79 ID:IIziHdYA - 2n x 2n の正方形を
1 x 2 のドミノで埋める場合の数を考えます
たとえば、2x2の正方形を1x2のドミノで埋める場合の数は、2通りです
4x4の正方形を1x2のドミノで埋める場合の数は、36通りです
一般に、n=0,1,2,3,,,,のとき、
1, 2, 36, 6728, 12988816, 258584046368,,,
となり、一般項は、
Π[j=1 to n]Π[k=1 to n]{4cos^2 πj/(2n+1)+4cos^2 πk/(2n+1)}
となるようなのですが、
どのようにその公式が導かれるのでしょうか?
| - ■初等関数研究所■
796 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 21:43:59.51 ID:IIziHdYA - FromDigits[{1,0,1,0,0,1,0,0}, 2]
164
| - ■初等関数研究村■
1 ：ベッセル関数[sage]：2019/06/15(土) 22:22:31.75 ID:IIziHdYA - 初等関数（しょとうかんすう、英: Elementary function）とは、
実数または複素数の1変数関数で、代数関数、指数関数、対数関数、
三角関数、逆三角関数および、それらの合成関数を作ることを
有限回繰り返して得られる関数のことである
ガンマ関数、楕円関数、ベッセル関数、誤差関数などは初等関数でない
初等関数のうちで代数関数でないものを初等超越関数という
双曲線関数やその逆関数も初等関数である
初等関数の導関数はつねに初等関数になる
| - ■初等関数研究村■
2 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 22:23:32.61 ID:IIziHdYA - 縦3マス、横4マスの12マスのうちランダムに選ばれた
2マスにそれぞれ宝が眠っている
AEIBFJ…の順で縦に宝を探していく方法をとるP君と、
ABCDEFGH…の順で横に宝を探していく方法をとるQ君が、
同時に地点Aから探索を開始した
どっちの方が有利？
ABCD
EFGH
I JK L
P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
完全追尾型多項式が完成しました
宝の個数は2
P1st={12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51}/48
Q1st={12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3}/48
even={10n^2+8n+(-1)^n-9}/8
■Wolframに入力すると既約分数表示になるので御注意
P1st／Q1st
=8(n-1){(n-2)n-6}/{2n(n+2)(6n^2-2n-5)-3(-1)^n+3}+1
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3 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 22:24:30.65 ID:IIziHdYA - P1stとQ1stは、『宝一つの時の自陣当たり数』の二乗と
それぞれの差分を表す関数の和で求められる
■P1stを求める
宝一つの時の自陣当たり数
n(n+1)/2-1 ……①
P1stは①^2と差分の和
差分は0 0 1 3 7 13 22 34 50 70 95 125 161 203
252 308 372 444 525 615……
それを表す関数
(4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48 ……②
計算知能で①^2+②を入力すると
∴P1st={12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51}/48
■Q1stを求める
宝一つの時の自陣当たり数
n(n+1)/2-1 ……①
Q1stは①^2と差分の和
差分は0 1 2 2 1 -2 -7 -15 -26 -41 -60 -84 -113
-148 -189……
それを表す関数は
(-4n^3+18n^2+28n-3(-1)^n-45)/48 ……③
計算知能で①^2+③を入力すると
∴Q1st={12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3}/48
■evenを求める
evenは、n(n+1)-1と同着数の和
同着数は1 2 4 6 9 12 16 20 25……
これを表す関数は {2n^2-1+(-1)^(n)}/8 ……④
n(n+1)-1 ……⑤
計算知能で④+⑤を入力すると
∴even={10n^2+8n+(-1)^n-9}/8
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4 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 22:25:21.94 ID:IIziHdYA - P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
[11,] 4320 4165 161
[12,] 6054 5845 191
[13,] 8261 7987 223
[14,] 11019 10668 258
[15,] 14413 13972 295
[16,] 18533 17988 335
[17,] 23476 22812 377
[18,] 29344 28545 422
[19,] 36246 35295 469
[20,] 44296 43175 519
Table[(12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51)/48,{n,1,20}]
Table[(12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3)/48,{n,1,20}]
Table[(10n^2+8n+(-1)^n-9)/8,{n,1,20}]
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5 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 22:26:46.31 ID:IIziHdYA - 2×3の場合
宝：1個 同等
宝：2～3個 長軸有利
宝：4～6個 同等
□■■
□□■
短軸有利☆
Table[C(3,k-1)+C(1,k-1),{k,1,6}]
{2, 4, 3, 1, 0, 0}
長軸有利☆
Table[C(3,k-1)+C(2,k-1),{k,1,6}]
{2, 5, 4, 1, 0, 0}
同等☆
Table[C(5,k-1)+C(3,k-2)+C(1,k),{k,1,6}]
{2, 6, 13, 13, 6, 1}
2 * 3 [2] : 4 , 5 , 6
2 * 3 [3] : 3 , 4 , 13
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6 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 22:35:44.64 ID:IIziHdYA - > sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12]
短軸有利 5 26 73 133 167 148 91 37 9 1 0 0
長軸有利 5 27 76 140 176 153 92 37 9 1 0 0
同等 2 13 71 222 449 623 609 421 202 64 12 1
□■■■
□□■■
□□□■
短軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}]
長軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,3mod n),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}]
同等☆
Table[C(11,k-1)+C(9,k-2)+C(7,k-2)+C(1,k),{k,1,12}]
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7 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 22:36:36.81 ID:IIziHdYA - > sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1
4×5の場合
宝：1個 同等
宝：2～5個 短軸有利
宝：6～13個 長軸有利
宝：14～20個 同等
□■■■■
□□■■■
□□□■■
□□□□■
短軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+C(1,n-4),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]
長軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,3 mod n)-C(0,n-5)+C(0,n-6),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]
同等☆
Table[C(19,k-1)+C(17,k-2)+C(15,k-2)+C(13,k-2)+C(8,k-2)+C(1,k),{k,1,20}]
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8 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 22:37:34.08 ID:IIziHdYA - 5×6の場合
宝：1個 同等
宝：2～8個 短軸有利
宝：9～21個 長軸有利
宝：22～30個 同等
□■■■■■
□□■■■■
□□□■■■
□□□□■■
□□□□□■
短軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2 mod7)+3C(0,n-4)+C(1,n-7),k-1),{n,1,14}],{k,1,30}]
長軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,30mod n)-C(0,n-2)-2C(0,n-5)-C(1,n-8),k-1),{n,1,14}],{k,1,30}]
同等☆
Table[sum[C(2n-1-3C(1,n-9),k-2),{n,9,14}],{k,1,30}]+Table[C(29,k-1)+C(1,k),{k,1,30}]
5 * 6 [2] : 203 , 197 , 35
5 * 6 [3] : 1801 , 1727 , 532
5 * 6 [4] : 11418 , 11008 , 4979
5 * 6 [5] : 55469 , 54036 , 33001
5 * 6 [6] : 215265 , 211894 , 166616
5 * 6 [7] : 685784 , 680768 , 669248
5 * 6 [8] : 1827737 , 1825076 , 2200112
5 * 6 [9] : 4130886 , 4139080 , 6037184
5 * 6 [10] : 7995426 , 8023257 , 14026332
5 * 6 [11] : 13346984 , 13395944 , 27884372
5 * 6 [12] : 19312228 , 19372871 , 47808126
5 * 6 [13] : 24301031 , 24358063 , 71100756
5 * 6 [14] : 26642430 , 26684251 , 92095994
5 * 6 [15] : 25463979 , 25488051 , 104165490
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9 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 22:38:22.21 ID:IIziHdYA - 6×7の場合
宝：1個 同等
宝：2～12個 短軸有利
宝：13～31個 長軸有利
宝：32～42個 同等
□■■■■■■
□□■■■■■
□□□■■■■
□□□□■■■
□□□□□■■
□□□□□□■
短軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(0,n-4)+5C(0,n-7)+C(1,n-11)+C(1,n-13),k-1),{n,1,20}],{k,1,42}]
長軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,30mod n)-C(0,n-2 mod12)-2C(0,n-5)-3C(0,n-9)-C(1,n-12),k-1),{n,1,20}],{k,1,42}]
同等☆
Table[sum[C(2n-1-3C(1,n-14)-3C(0,n-13)-8C(0,n-12),k-2),{n,12,20}],{k,1,42}]+Table[C(41,k-1)+C(1,k),{k,1,42}]
6 * 7 [2] : 413 , 398 , 50
6 * 7 [3] : 5328 , 5070 , 1082
6 * 7 [4] : 49802 , 47536 , 14592
6 * 7 [5] : 361511 , 347863 , 141294
6 * 7 [6] : 2125414 , 2063677 , 1056695
6 * 7 [7] : 10409448 , 10191338 , 6377542
6 * 7 [8] : 43330401 , 42718984 , 31980800
6 * 7 [9] : 155608539 , 154251591 , 136031680
6 * 7 [10] : 487675145 , 485359843 , 498407985
6 * 7 [11] : 1345799489 , 1343074613 , 1591687274
6 * 7 [12] : 3293603485 , 3292560662 , 4471952741
6 * 7 [13] : 7189071864 , 7193592264 , 11136067152
6 * 7 [14] : 14059388483 , 14074085203 , 24726755394
6 * 7 [15] : 24725171790 , 24753058778 , 49194197048
6 * 7 [16] : 39214892052 , 39255073592 , 88039755958
6 * 7 [17] : 56218716543 , 56265877603 , 142177333010
6 * 7 [18] : 72972907098 , 73019303768 , 207704910184
6 * 7 [19] : 85862179541 , 85900953866 , 275012177393
6 * 7 [20] : 91643393740 , 91671084359 , 330477129321
6 * 7 [21] : 88747779232 , 88764701159 , 360745394049
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10 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 22:38:56.54 ID:IIziHdYA - 7×8の場合
宝：1個 同等
宝：2～16個 短軸有利
宝：17～43個 長軸有利
宝：44～56個 同等
□■■■■■■■
□□■■■■■■
□□□■■■■■
□□□□■■■■
□□□□□■■■
□□□□□□■■
□□□□□□□■
短軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2 mod18)+3C(0,n-4)+3C(1,n-7)+7C(0,n-11)+C(1,n-16)+C(1,n-18),k-1),{n,1,27}],{k,1,56}]
長軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-1 mod14)+C(0,n-3 mod18)+3C(1,n-5)+3C(1,n-9)-19C(0,n-14)-C(1,n-17)-C(1,n-19),k-1),{n,1,27}],{k,1,56}]
同等☆
Table[sum[C(2n-1-3C(1,n-20)-3C(1,n-18)-8C(1,n-16),k-2),{n,16,27}],{k,1,56}]+Table[C(55,k-1)+C(1,k),{k,1,56}]
| - ■初等関数研究村■
11 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 22:39:36.29 ID:IIziHdYA - 7 * 8 [2] : 751 , 722 , 67
7 * 8 [3] : 13213 , 12546 , 1961
7 * 8 [4] : 169815 , 161494 , 35981
7 * 8 [5] : 1708176 , 1634573 , 477067
7 * 8 [6] : 14026034 , 13521709 , 4920693
7 * 8 [7] : 96716833 , 93921622 , 41278945
7 * 8 [8] : 571625198 , 558773693 , 290095184
7 * 8 [9] : 2940723248 , 2890925540 , 1744319612
7 * 8 [10] : 13327198939 , 13162957237 , 9116895304
7 * 8 [11] : 53717709609 , 53254225291 , 41930280380
7 * 8 [12] : 194070976396 , 192951568390 , 171360762514
7 * 8 [13] : 632475500322 , 630177011156 , 627260220922
7 * 8 [14] : 1869295969469 , 1865362789969 , 2070073204362
7 * 8 [15] : 5032748390589 , 5027434867987 , 6193066240064
7 * 8 [16] : 12389874719763 , 12385213035831 , 16873864084671
7 * 8 [17] : 27980641402960 , 27981556314178 , 42035336024662
7 * 8 [18] : 58125229289763 , 58139877526913 , 96062882957224
7 * 8 [19] : 111326498505381 , 111364943071921 , 201964537970498
7 * 8 [20] : 196977669970830 , 197048666795639 , 391587225396961
7 * 8 [21] : 322510102010304 , 322617018858127 , 701638985697449
7 * 8 [22] : 489306306855569 , 489444206271532 , 1163831929136799
7 * 8 [23] : 688690248074025 , 688846020744196 , 1789759515397979
7 * 8 [24] : 900050700996225 , 900206640621300 , 2554774361679750
7 * 8 [25] : 1092975958236546 , 1093115221856691 , 3388349400127275
7 * 8 [26] : 1233862233565383 , 1233973593552186 , 4178612556991503
7 * 8 [27] : 1295273249461927 , 1295353120172050 , 4794316279376103
7 * 8 [28] : 1264553645519991 , 1264605044607097 , 5119531910633352
| - ■初等関数研究村■
12 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 22:41:15.00 ID:IIziHdYA - 宝一つの時の自陣当たり数
n(n+1)/2-1
https://i.stack.imgur.com/3aEGX.png
大きな数字のところでは誤差があります
http://codepad.org/VN03aiqT
| - ■初等関数研究村■
13 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 22:44:09.62 ID:IIziHdYA - 同等8 * 9 [18] : 14798849190259080
短軸8 * 9 [18] : 13325129660655316
長軸8 * 9 [18] : 13308110914669040
から誤差がある
| - ■初等関数研究村■
14 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 22:46:47.37 ID:IIziHdYA - ■8x9マスで宝マックス72個テーブルも一瞬で表示
短軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(0,n-4)+3C(1,n-7)+7C(0,n-11)+C(1,n-12)+9C(0,n-16)+C(1,n-22)+C(1,n-24)+C(1,n-26),k-1),{n,1,35}],{k,1,72}]
{35, 1259, 28901, 487245, 6460920, 70274262, 645084445, 5101533131, 35303844988,
216412209627, 1186682990705, 5867639936202, 26336848147168, 107913286582509,
405577089880106, 1403922286907797, 4491874681282838, 13325129660655319,
36749474808714593, 94449719219262517, 226689450187793573,
509035059085166018, 1071176160573816479, 2115432026610089700,
3925691963352022341, 6853294513073859630, 11266129211141121742,
17454698843693046407, 25505307844551837326, 35172169563389617239,
45797547548960471211, 56330082290098069195, 65468524173196415705,
71914624215592018826, 74671243825552686388, 73292765675007905651,
68001993326895424179, 59631707476231518911, 49411792162802982783,
38676208214646507895, 28584945063602478482, 19938274802884300793,
13116714709717265237, 8132639200776732766, 4748278261200713338,
2608024858933092322, 1346074794408997564, 652006213752455743,
295956138898867441, 125683998661458955, 49842381651879601,
18418955705334457, 6327555809439679, 2015233315978833,
593168628408153, 160782910480936, 39968340729272, 9068194179784,
1867271369048, 346638007264, 57550022756, 8461928362, 1088598639,
120646033, 11286483, 866713, 52461, 2347, 69, 1, 0, 0}
| - ■初等関数研究村■
15 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 22:47:24.45 ID:IIziHdYA - ■8x9マスで宝マックス72個テーブルも一瞬で表示
同等☆
Table[sum[C(2n-1-3C(0,n-28)-3C(1,n-26)-3C(1,n-24)-8C(0,n-23)-8C(1,n-21)-15C(0,n-20),k-2),{n,20,35}],{k,1,72}]+Table[C(71,k-1)+C(1,k),{k,1,72}]
{2, 87, 3295, 78607, 1362299, 18460078, 204473689, 1907116083, 15299719813, 107274376311,
665613316422, 3691399441605, 18447776156424, 83642334863742, 346035607900560,
1312638938412806, 4584809892945575, 14798849190259082, 44283503920739404,
123188383908980963, 319353810087020272, 773186685811315639, 1751591017389233568,
3719181606403019809, 7412653767304185445, 13886128424486382893,
24477720915701752696, 40642683785697114854, 63620630278918684964,
93961096384315847204, 131013012205871839238, 172557237876989179559,
214781731322670114329, 252731141418076935138, 281209274772956576193,
295926350847761236653, 294548347126207473781, 277298087576831730532,
246896780442822393205, 207866926373152892934, 165440348653912344087,
124431016360680033348, 88399759656981333882, 59288415686663225877,
37514631338865127956, 22377473721141027910, 12572352774184755184,
6646249228402815124, 3302093433054131533, 1539874630017375451,
673008134822102446, 275211143609823985, 105099248767176058,
37401623133599593, 12373255757373154, 3794739201203181,
1075517359850959, 280687932668752, 67172923268624, 14670008286928,
2907185390840, 519288075532, 82935807842, 11727724279, 1450536738,
154505482, 13886622, 1024096, 59502, 2554, 72, 1}
| - ■初等関数研究村■
16 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 22:48:28.18 ID:IIziHdYA - しかも誤差を修正済み
いやぁ、この出力は圧巻ですね
Haskell先生もびっくり
しかし誤差あり
| - ■初等関数研究村■
17 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 22:50:21.89 ID:IIziHdYA - 宝箱問題、
もとの 4x3 型の12部屋で宝箱の数を変えてみると
1と8以上で有利不利無し、それ以外は長軸優先有利となるな
初見での印象よりも随分奥深いなこれ
計算式お願いする
プログラムで計算したので式はなんとも
4x5だと宝箱を増やすと途中で短軸有利から長軸有利に
変わっちゃうので自分でもびっくりした
| - ■初等関数研究村■
18 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 22:51:12.21 ID:IIziHdYA - n=8くらいまでならマスのサイズを固定した場合、
宝を1からマックスまで変化させるロジックは完全に解明された
| - ■初等関数研究村■
19 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 22:58:41.60 ID:IIziHdYA - □■■■■■■■■
□□★■■■■■■
□□□★■■■■■
□☆□□★■■■■
□□□□□■■■■
□□☆□□□■■■
□□□□□□□■■
□□□☆□□□□■
{69, 67, 65, 63, 61, 59, 57, 56, 52, 50, 48, 46, 44, 43, 42, 37, 35, 33, 32, 31, 30, 24, 23, 22, 21, 20, 15, 14, 13, 12, 8, 7, 6, 3, 2}
35項目、合計1210
8x9マス長軸は三角数の位置2 6 12 20 30 42 56で1上がっている
つまり、最大マスから一回りづつ小さいマスの総数は全て数える
8x9マスでは8(8+1)/2-1=35 35項
>>4[8,] 1259 1210 87 から合計1210
| - ■初等関数研究村■
20 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 23:01:52.38 ID:IIziHdYA - 8 * 9 [2] : 1259 , 1210 , 87
8 * 9 [3] : 28901 , 27444 , 3295
8 * 9 [4] : 487245 , 462938 , 78607
8 * 9 [5] : 6460920 , 6168325 , 1362299
8 * 9 [6] : 70274262 , 67504568 , 18460078
8 * 9 [7] : 645084445 , 623551570 , 204473689
8 * 9 [8] : 5101533131 , 4960367131 , 1907116083
8 * 9 [9] : 35303844988 , 34509440319 , 15299719813
8 * 9 [10] : 216412209627 , 212525346318 , 107274376311
8 * 9 [11] : 1186682990705 , 1169989129225 , 665613316422
8 * 9 [12] : 5867639936202 , 5804244923649 , 3691399441605
8 * 9 [13] : 26336848147168 , 26122841703128 , 18447776156424
8 * 9 [14] : 107913286582509 , 107268699582069 , 83642334863742
8 * 9 [15] : 405577089880106 , 403841343528838 , 346035607900560
8 * 9 [16] : 1403922286907797 , 1399743796844505 , 1312638938412806
8 * 9 [17] : 4491874681282838 , 4482908439962531 , 4584809892945575
8 * 9 [18] : 13325129660655316 , 13308110914669040 , 14798849190259080
8 * 9 [19] : 36749474808714576 , 36721381656941040 , 44283503920739408
8 * 9 [20] : 94449719219262544 , 94410951895703376 , 123188383908980944
8 * 9 [21] : 226689450187793600 , 226649637879721216 , 319353810087020288
8 * 9 [22] : 509035059085166144 , 509020882643576960 , 773186685811315328
8 * 9 [23] : 1071176160573816448 , 1071238534080555904 , 1751591017389233920
8 * 9 [24] : 2115432026610089728 , 2115648029075918592 , 3719181606403020288
8 * 9 [25] : 3925691963352023040 , 3926156660554725888 , 7412653767304184832
8 * 9 [26] : 6853294513073858560 , 6854100615782599680 , 13886128424486381568
8 * 9 [27] : 11266129211141124096 , 11267338149222707200 , 24477720915701743616
8 * 9 [28] : 17454698843693041664 , 17456312814286665728 , 40642683785697116160
8 * 9 [29] : 25505307844551831552 , 25507254963487424512 , 63620630278918684672
8 * 9 [30] : 35172169563389628416 , 35174310810267590656 , 93961096384315801600
| - ■初等関数研究村■
21 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/06/15(土) 23:04:32.17 ID:IIziHdYA - ■8x9マス長軸テーブル外せば出力可能
sum[C(2n-1+C(0,3mod n)+C(0,n-6 mod15)+C(0,n-10 mod18)+C(0,n-15)-C(0,n-5 mod22)-3C(0,n-9)-3C(1,n-13)-7C(0,n-20)-C(1,n-23)-C(1,n-25),k-1),{n,1,35}],k=16
1399743796844505
>>20
8 * 9 [16] : 1399743796844505
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