- 虚数は存在するか？
124 ：１３２人目の素数さん[]：2019/04/08(月) 13:41:23.12 ID:UGiMbFFt - よく虚数なんて見えないからないんじゃね
なんてきく
でも無理数√2も目に見えない
そして√の中身がマイナスになるものは存在するのかという問題がある
それらの根拠は整数になるだろう
たとえば√2は1辺の長さが1の正方形における対角線の長さだ
という発見のおかげでその存在が保証されている
では対角線の長さを整数で考えることはできるのかと言えば
整数の1次関数の存在よりこれも担保される
したがって上記正方形について原点対称に√-2が存在することがわかる
これを一般化してルートの中身が整数の存在が保証される
したがって
√0や√-1を定義することができ特に√-1を虚数と呼ぶ
もちろんこの議論の前提は直交座標にある
|
- 虚数は存在するか？
125 ：１３２人目の素数さん[]：2019/04/08(月) 13:45:46.53 ID:UGiMbFFt - >>124
-√2と√-2の間違えです
|
- 虚数は存在するか？
126 ：１３２人目の素数さん[]：2019/04/08(月) 17:33:51.19 ID:UGiMbFFt - 今日1=2の証明というやつの動画を少し観た
https://www.youtube.com/watch?v=5LY6zyFr6Z0
今どきの人はもうコンピュータ科学的な思考を自然にすることがわかった
細かいことはわからないがもし数論や代数学などで1=2の証明に相当するような
ことに対して虚数を定義していたらっていう空想をしてみた
現在は定義を公理のように使うやり方が応用数学で要請されている
そのような数学の流儀でどこまで本当に数の実在性を文字で表せるのか
というのに疑問を感じるのは当然だと思った
これから数論や代数学を学ぶ人は常に実際にある数を意識して
証明をしてゆかなければこれら応用数学を外側から観たときに
空疎空論になりかねないだろう
そもそも「1=2の証明」という日本語が生まれてしまった時点で
数学の担い手は消滅したのかも知れない
|
- 虚数は存在するか？
129 ：１３２人目の素数さん[]：2019/04/08(月) 18:24:19.56 ID:UGiMbFFt - >>128
ああそうなんですか
コンピュータプログラム的発想ですね
等号という記号が厳密に同値関係を意味するようになったのは
いつからなのか知らないですけど
1=2なんて書くことは許されないという立場とそうではないという立場があって
後者はなんでも偽の仮定をしてしまうというコンピュータ理論のための証明方法ですね
これも時代の流れなんでしょうか
|
- 虚数は存在するか？
130 ：１３２人目の素数さん[]：2019/04/08(月) 18:47:01.55 ID:UGiMbFFt - でも悲しいかな1=2の記法に敏感になりすぎて
たとえば文字式
x=y
と書くなという人まで出てきてしまった
理由はxとyという文字はそれぞれ別個のものを表している
最初から別のものを表しているのにそれらを等号で表すことは間違っている
もし同じもの同士ならば初めからx=xまたはy=yである
という主張でした
これは現に数論幾何学を専門にする人の話です
つまり代数学の基礎である同値関係を用いることに慣れているにもかかわらず
このような間違えが発生する時代になってしまいました
たしかに高校数学や大学数学のほとんどの本は
全称と特称の明示がありませんので
混乱する人が多いと思います
|
- 虚数は存在するか？
131 ：１３２人目の素数さん[]：2019/04/08(月) 18:57:19.32 ID:UGiMbFFt - 僕はそのような指摘をうけて
文字と文字の中身について考えるようになりました
文字と文字の中身を対応させることはたしかに難しいです
先のx=yとは何でしょうか
たとえば
x=1のとき
y=2/2
という場合でしょう
つまり表示は異なるが
中身が同じものである場合に
等号で二つの関係を表すことができる
ということです
しかしx=yを1=2と考えx=yを偽の命題だと考えるというのが
もしかしたらどこかで発生したのかもしれません
僕はこの立場を採らないです
|
- 虚数は存在するか？
132 ：１３２人目の素数さん[]：2019/04/08(月) 19:47:10.33 ID:UGiMbFFt - x=yの存在命題
1+2=3
x：=1+2
y：=3
1+2=-1+4
x：=1+2
y：=-1+4
ちなみに
x=x(真) ⇒ c+d=e+f(偽) (c+d=x,e+f=x) ：偽 ←異論は認める(これはx=yと表示してはならないという立場に近い)
ですので
2=2 ⇒ -1+3=-2+4
というような命題は偽です
さてx=yの問題を集合と写像で一般に全称記号で記述することは難しいです
とういうのもそれは集合と位相の問題になってしまうからです
写像における
和や差の定義(演算の定義)という日本語も
先に和や差の現実がなければならないからです
つまり集合算としての和や差などが担保されなければ
写像における演算が使えません
本来集合における和の定義というのは和集合の存在証明になるかと思います
もちろん現在刊行されているほとんどの本は先に和の定義(公理)で終わっていますが
僕は定義より定理の証明が可能だという現在の主流とは外れた考えをするので
なんでも難しいです
そして高校数学で全称記号や特称記号を簡単には付けられないのもこのためです
ただし集合算を公理と看做す立場であれば論理記号の使用も可能ですが
それはいかにもコンピュータ的でバグの発生が見込まれます
バグの発生を抑えるのはもちろんですし
数学の原論を学びたいです
|
- 虚数は存在するか？
133 ：１３２人目の素数さん[]：2019/04/08(月) 19:55:11.71 ID:UGiMbFFt - どうでしょうか
写像の演算までも公理化された現在
たとえば群の公理やベクトル空間の公理なんて言う人まで存在します
このような下では直積集合から集合への写像によって演算が定義可能です
つまり公理の下に定義が可能かどうかという問題しか扱わなくなってしまったのです
これはすべて応用数学や計算機科学のためにあります
前時代は宇宙空間の解析や原子爆弾のためという背景があったと思います
現在の最先端科学というのはやはりコンピュータ科学のことでしょう
それなので数学もそれに合わせて発展したのだと思いますが
僕は定義が公理・公準だとは思えません
どうにかしたいです
|