- 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む56
156 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/12/19(水) 01:52:34.80 ID:zxabrNLg - おっちゃんです。
昨日は間違いに気付かなかった。>>133について訂正：
対数関数 a＝log_x|y| y∈R＼{0} の逆関数は二価の多価関数になって、a＝±y^x になる。
→ 対数関数 a＝log_x|y| y∈R＼{0} の逆関数は存在しない。
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157 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/12/19(水) 01:56:17.16 ID:zxabrNLg - おっと、>>156の訂正：
>>133について訂正 → 「>>136」について訂正
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158 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/12/19(水) 02:07:44.51 ID:zxabrNLg - >>136について再度訂正：
対数関数 a＝log_x|y| y∈R＼{0} の「逆対応」は二価の多価関数になって、a＝±y^x になる。
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159 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/12/19(水) 02:17:03.78 ID:zxabrNLg - >>158は取り消して、>>136について再び再訂正：
対数関数 a＝log_x|y| y∈R＼{0} の「逆対応」は二価の多価関数になって、「a＝±x^y」 になる。
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- 奇数の完全数の存在に関する証明3
338 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/12/19(水) 08:13:48.60 ID:zxabrNLg - まあ、>>1はこの未解決問題を諦めることだろうな。
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167 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/12/19(水) 17:14:55.66 ID:zxabrNLg - >>164
>[命題]：任意の正の超越数xと、任意の 正かつy≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log_(x|y|) は無理数である。
> （注：ここに、log_(x|y|)は、eを底とする自然対数、|y|はyの絶対値、x|y|はxと|y|の積を表すとする）
スレ主が書いた log_(x|y|) を log(x|y|) と好意的に解釈することにする。
まあ、今日出来たところまで書く。
或る正の超越数xと、或る正かつ y≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log(x|y|) が有理数であるとする。
仮定から、xは正の超越数である。また同様に仮定から、yは1とは異なる正の実数である。
従って、|y|＝y から x|y|＝xy であって、xyは正の超越数である。xy≠1 だから、
log(x|y|)＝log(xy) に対して或る既約有理数 (p,q) |p|≧1 q≧1 p,q∈Z が定まって、log(xy)＝p/q、故に
e^{p/q}＝xy から e^p＝(xy)^q、故に e^p＝x^q・y^q を得る。
ところで、仮定からyは代数的数だから、yに対して或る有理数体Q上の最小多項式 f(X) が存在して、f(y)＝0。
deg(f)＝n とする。既約な有理係数多項式 f(X) に対して何れも或る a_1,…,a_n∈Q a_n≠0 が存在して、f(X) は
f(X)＝X^n＋a_1・X^{n-1}…＋a_{n-1}・X＋a_n と表される。従って、f(y)＝y^n＋a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}・y＋a_n。
f(y)＝0 から y^n＋a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}・y＋a_n＝0 だから、y^n＝−(a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}・y＋a_n)。
y^q と y^n の各指数について、q≧n だから、y^q＝y^{q-n}・y^n、故に y^q は
y^q＝−y^{q-n}・(a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}・y＋a_n) と表される。
従って、e^p＝x^q・y^q から e^p＝−x^q・y^{q-n}・(a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}・y＋a_n)。
故に、2つの超越数e、xは有理数体Q上代数的従属である。
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168 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/12/19(水) 17:17:34.70 ID:zxabrNLg - >>164
(>>167の続き)
(1)：p≠q のとき。仮定からyは1とは異なる正の代数的数だったから、
e^p≠−x^q・y^{q-n}・(a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}・y＋a_n) となって矛盾が生じる。
(2)：p＝q のとき。yは体Qの超越拡大体 Q(e,y) 上代数的である。
また、Q(e,y) は Q(e,y)＝Q(e) と表される。従って、yは体Qの超越拡大体 Q(e) 上代数的である。
故に、有理整数と有理数の各定義に注意すると、Z⊂Q から、yに対して、或る有理整数環Zにeを添加して得られる
Z上の可換環 Z[e] 上の既約な多項式 g(X) が存在して、g(x)＝0。
deg(g)＝m とする。何れも或る b_0,b_1,…,b_m∈Z[e] b_0≠0 b_m≠0 が存在して、g(X) は
g(X)＝b_0・X^m＋b_1・X^{m-1}…＋b_{m-1}・X＋b_m と表される。従って、g(x)＝b_0・x^m＋b_1・x^{m-1}＋…＋b_{m-1}・x＋b_m。
g(x)＝0 から b_0・x^m＋b_1・x^{m-1}＋…＋b_{m-1}・x＋b_m＝0 だから、b_0・x^m＝−(b_1・x^{m-1}＋…＋b_{m-1}・x＋b_m)。
また、b_0≠0 であり、b_0・e^p＝−b_0・x^q・y^{q-n}・(a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}・y＋a_n)、
故に、p＝q から b_0・e^p＝−b_0・x^p・y^{q-n}・(a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}・y＋a_n)。
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169 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/12/19(水) 17:26:44.08 ID:zxabrNLg - 昨日のスレ主と一日中どうでもいいことで議論して、精神的にも疲れた。
まあ、後は、もし完全に証明出来たら、或いは反例を見つけられたら、再度書き直す。
今日は疲れていて、それじゃ、おっちゃんもう寝る。
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