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132人目の素数さん
面白い問題おしえて〜な 28問目

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面白い問題おしえて〜な 28問目
139 :132人目の素数さん[sage]:2018/11/09(金) 14:55:14.01 ID:ds1M8gYh
>>79
分からないけど、{a_n}の母関数の関数等式ができたので一応書いとく

f(x)=Σ[n≧1] a_nx^n

g(x)=Σ[n≧1] a_(2n-1)x^(2n-1)

h1(x)=Σ[n≧1] a_(3n-2)x^(3n-2)

h2(x)=Σ[n≧1] a_(3n-1)x^(3n-1)

h3(x)=Σ[n≧1] a_(3n)x^(3n)

とおく。これらは区間 (-1,1) 上で絶対収束する。
まず明らかに
 h1(x)+h2(x)+h3(x)=f(x) …@
 (f(x)-f(-x))/2=g(x) …A
さらに漸化式より
 xh1(x^2)=g(x^3) …B
 h2(x^2)=xg(x^3) …C
 h3(x)=-f(x^3) …D

@に x^2 を代入して x 倍
 xh1(x^2)+xh2(x^2)+xh3(x^2)=xf(x^2)
BCDより
 g(x^3)+x^2g(x^3)-xf(x^6)=xf(x^2)
Aより
 (1+x^2)(f(x^3)-f(-x^3))/2-xf(x^6)=xf(x^2)
整理して
 (1+x^2)(f(x^3)-f(-x^3))=2x(f(x^2)+f(x^6))

うーん…


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