- 数学オリンピック事典を一日一問以上解くスレ
155 :132人目の素数さん[sage]:2018/06/13(水) 13:59:41.21 ID:mTrBNE3Q - IMO 1983 [3]
背理法。modaで見ると、xbc≡-bc。よってx≡-1≡a-1。中国剰余定理より、各modで見て等しいので、積も等しい。 IMO 2005 [4] 答えは1のみ。6a(p-2]≡0。 これはフェルマーの小定理より成り立つ。 p≧5では位数p-1≧5-1=4となり、矛盾。 よって5以上の素因数を持たない。 3^2では位数6の数が存在する。 また、2^4では位数4の数が存在する。 よってn=2, 4, 8, 3, 6, 12, 24の7個が必要で、十分性を確認すると全て条件を満たすので解となる。 d=0の時・d=-1の時・その他の時で場合分け。 指数の偶奇を決定する。 平方剰余の相互法則、中国剰余定理。原始根。平方数にする。 IMO 1990 [3] nは奇数。最小の素因数をpとする。n= 3のみ。 素数pについてのオーダーの問題。 偶奇性。次も偶奇性。オーダーの定理。 IMO 1999 [4] n=1の時。pは任意。p=2の時。n=1, 2。 以下n≧2かつp≧3とする。 pは奇数。nも奇数となる。nの最小の素因数をqとする。 mod qでのp-1の位数| gcd(2n, q-1)。 答えは(1,p), (2,2), (3,3)。(pは任意の素数)
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