- 数学オリンピック事典を一日一問以上解くスレ
55 ：１３２人目の素数さん[]：2018/04/17(火) 14:14:08.86 ID:U+MvG6tj - 整数25
奇数と偶数で場合分け。x^k+y^kはkが奇数の時、x+yで割り切れる。(m+1, 2m+1)=(m+1, -1)=(0, -1) =1。互いに素。
nが偶数の時も同様。
整数26
p-4=q^4と置く。q≧2。(q+1)^2+1>(q-1)^2+1≧2。
これは素数であることに反する。合成数である。
整数27
縦のものを横に数える。Σk[n/k]≦Σn=n^2。
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56 ：１３２人目の素数さん[]：2018/04/17(火) 15:44:41.96 ID:U+MvG6tj - 組合せ25
100(10)=1100100(2)→3^6+3^5+3^2=729+243+9=981。
組合せ26
2枚のカードを取り、固定する。ある１つの項目に関して2枚のカードが同じ場合3枚目も同じになる。2枚のカードが異なる場合3枚目は異なる。他の二項目に関しても同様である。
従ってどちらの場合でも1枚に決まってしまう。
27C2/3=117。
組合せ27
仮定より全ての参加者に友達が少なくとも1人存在する。
2≦k≦mのkで、k人のうちの任意の2人について友達であると仮定する。
他のm-k人を加えるとk人全てと友達である人間が存在する。
A(k+1)。「自分は自分と友達になれない」からこれはk人以外の人間である。これを繰り返すことにより、任意の2人が友達であるm+1人の組合せが作られる。もっと多くても良い。
m+1人より多くは存在しないことの証明。
他の人Bを取ってくる。Bには友達がいる。
(1)m+1人の中にBの友達が2人以上いると仮定する。その2人を除きBを加えたm人の集合についてこのm人は共通の友人(除かれた2人)を2人持つことになって仮定に反する。
(2)Bの友達が多くとも1人だけいると仮定する。それをA1とする。A1は友達の可能性もあるし友達でない可能性もある。
m人集合{B,A1,A3,…Am}は共通の友達Cを持つ。C≠Ai (i=1〜m+1)である。C=A1とするとA1はm-1人になってしまう。
Cの友達は{B,A1,A3,A4,…Am}である。m (≧3)人集合の最小値は{B,A1,A3}である。
Cは少なくとも友達{A1,A3}を持つので(1)に帰着され矛盾が導かれる。答えは、参加者はm+1人で友達の数の最大値はm人である。
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57 ：１３２人目の素数さん[]：2018/04/17(火) 16:13:55.02 ID:U+MvG6tj - 幾何25
(1)正弦定理。
(2)正弦定理。
(3)正弦定理。
(4)余弦定理。半角の公式。三角形の周の長さの半分。
ヘロンの公式。
(5)正弦定理。問題24(1)。
幾何26
(1)内接円の半径と三角形の面積。問題25(2)(4)(1)。
2倍角の公式。
(2)(1)と問題23(4)。
幾何27
(1)和積変換。2倍角の公式。和積変換。
(2)問題25(3)。オイラーの公式。
別解。外接円。トレミーの定理。
組合せ27
別解。Pの友達の集合をSとする。|S|=n。
m-1個の元を持つSの任意の部分集合をS'とする。PをS'に加えてm人にする。このm人全員と友達であるQが存在する。Q∈Sである。
S1, S2∈S'を取る。QS1=QS2と仮定すると、QはS1∪S2である、m個の元を持つ集合の要素全員と友達である。またPとも友達であるからQは友達をm+1人以上持ち矛盾である。
よってQS1≠QS2である。任意のQは全て相異なる。
相異なる部分集合の個数はm≧3より、
nC(m-1)≧nC2>n (∵n≧4)。
よって全てのQの種類は、存在する人数よりも多くなってしまう。従って任意のQが相異なることはなくどれかは一致してしまい矛盾する。鳩の巣原理。
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