- 数学オリンピック事典を一日一問以上解くスレ
43 ：１３２人目の素数さん[]：2018/04/13(金) 12:02:06.15 ID:77Nm3n+g - 整数13
27000=2^3×3^3×5^3。分数と整数の総和は、
(2^7-1)(3^7-1)(5^7-1)/2^6×3^3×5^3。
整数14
(1)どちらも2^a×5^の形なのでこの形を保存しなければならない。l=Max、g=Minとして調べる。慣れないとミスしやすい。4,3,それ以下。3,3,それ以下。それぞれの順列。
これらは独立なので7×10=70個。
(2)素因数分解しておく。l=Max、g=Minとして調べる。
対等性より大小を設定してよく、簡単に消去できる。
整数15
仮定を反映させて文字を設定する。互いに素を利用する。最終的にc=a'b'とg=b'-a'が示せる。
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44 ：１３２人目の素数さん[]：2018/04/13(金) 12:23:21.56 ID:77Nm3n+g - 組合せ13
x=2y-1と置き換える。50C3=50×49×8=19600個。
組合せ14
人名の数に関する帰納法で示す。
n=1の時、シャッフルすれば良い。
nの時に成り立つと仮定するとn+1の時、
(1)aのみの人名が書かれたカードの枚数が左右で等しい時。
帰納法の仮定によりaを無視するシャッフルでa以外について成立する。両側にaを同数加えても成り立っている。
(2)左より右の方が多い場合も同様である。
(3)左の方が右よりも多い場合はaについてのシャッフルを一度だけ行う。その結果成り立てば終わり。
成り立たなければ(2)になっているのでaを無視するシャッフルで成り立たせることができる。(証明終)
組合せ15
繰り上がりが必ず発生するのは5,6,7,8の場合である。
その他の場合は、1999, 1a99, 1ab9, 1abc9として、
0,1,2,3,4を代入すると、1+5+5^2+5^3=156。
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45 ：１３２人目の素数さん[]：2018/04/13(金) 12:27:41.47 ID:77Nm3n+g - 幾何13
移項してtanの加法定理。注も同様。
幾何14
1^2+8^2=4^2+7^2=65に注意する。
二乗して加えてcosの加法定理。
幾何15
和積変換+二倍角の公式→和積変換。注も同様。
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