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239 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage]：2018/02/16(金) 11:58:45.29 ID:wmUyW91w - >>236-238
>あなたの主張の1つは``件の定理は間違っている''というものですから
>間違っていることを証明するか成立しない例を挙げるかその主張を取り下げるかしかありません
えらく根源的なレベルまで、話が戻っていますかね？
私の主張は、数学の理論というのは、定理：P→Q で、
定理が成立するというのは、P真→Q真が成り立っていて、命題PからQがきちんと導かれる（＝証明がつけられる）
べし だと
そうして、定理の連鎖による数学の理論体系を構築する。定理：P→Q、定理：Q→R、・・・と続いて連鎖と理論体系を成すべし
その中に、「実は、P偽→Q偽で、命題自身は真なのですが・・」なんてのを、混ぜたら、みんなズッコケでしょう？
つづく
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240 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage]：2018/02/16(金) 12:01:16.66 ID:wmUyW91w - >>239 つづき
これを定理1.7に見るに（>>13より）
命題P中 「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」を、普通に場合分けすると
（>>23より）
１）R中稠密でない場合、
２）R中稠密な場合
に、二分でき
１）の場合について、
命題P’1：「R−Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。」
２）の場合について、
命題P’2：「R−Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
となる
そこで
>>205より、「定理1.7が成り立つと、仮定の集合Bfもまた、ある開区間を含む
だから、定理1.7が成り立つと、補集合R−Bfが稠密ではないという結論になる（補集合R−Bfが稠密なら、Bfは開区間を含みえない）」
なので、命題P’2のい場合ついては、仮定P’2（稠密で開区間なし）と、 結論：ある開区間がリプシッツ連続 →この開区間は仮定のBfの条件を満たす
従って、仮定P’2と結論とが矛盾しているので、ここはきちんと場合分けをすべきだと
そして、「証明が正しいから、これで良いのだ」と仰るが、それはおかしい
繰り返すが、本来、定理の命題と証明は分離されるべきもので、例えば、定理が正しければ、元の証明以外の別証明もありうるわけだし
数学の定理の命題は、上記のように数学の理論体系の一部をなすべきものであるから、
命題の論理の連鎖がつながるように、最低限の体裁を整えないといけませんね
２）の場合について、
命題P’2：「R−Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
↓
結論：この場合は、ｆは空集合（存在しない）
という定理を立てるなら、それはまっとうな数学の定理と言える
しかし、
「結論：ある開区間がリプシッツ連続」
で、この場合は空集合で、条件が偽です。
「それで良い。条件が偽で命題は正しいし、証明が正しいから」
では、まずいと思いますよ
以上
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241 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage]：2018/02/16(金) 12:05:22.34 ID:wmUyW91w - >>237
時枝については、確率過程論や、ランダム現象の数理の中に、当てられない数列の例が、存在します
それが反例ですが、その理解が難しいんでしょうね
なお、ここらは、日本の伊藤清先生らの系譜で、日本数学の伝統の分野です
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242 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage]：2018/02/16(金) 12:22:51.16 ID:wmUyW91w - >>240 補足
系1.8については、別の理論で証明されています。それは既述の通りです。多分、ここは合意でしょう。
そして、背理法は系1.8の部分です。
問題は、定理1.7です。
ここは、背理法以前です。
定理1.7で、上記>>240 ２）の場合について、
命題P’2：「R−Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
が、本当に空集合になるのかどうか？ それは知りません
おそらく、空ではなく、反例として存在するのではないかと思っています
まあ、普通の連続・不連続で、R中の部分集合として連続がFσ、不連続がGδとして存在するの類似かな？と
つまり、「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」が連続に相当しFσ
補集合 R−Bf が、不連続に相当しGδだろうと
残念ながら、そういう理論の論文は見つかりませんでした
そして、これも残念ながら、リプシッツ連続や上記のBfと R−Bf とについて
「Fσ vs Gδ」理論を構築するような”かしこい頭”は、私にはありません（＾＾
どなたか、これに関する文献などあれば、ご紹介ください
「そんなこと簡単にできるよ」と、どなたか実行して頂ければ、さらに幸甚です（＾＾
以上
追伸
命題の仮定と結論レベルで矛盾している定理を、「証明しました」というのは、普通は「？」ですよ
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243 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage]：2018/02/16(金) 15:04:53.67 ID:wmUyW91w - >>218
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ご苦労さまです
>有限回の推論に基づくことのみを適用して有限回の推論で矛盾を導いて
数学的帰納法や超限帰納法は、有限ですか無限ですか？
>>219
定理1.7は、背理法ではありませんよ
だから問題なんです
系1.8は、背理法です。
>>220
「完全に適用していない」とか、関係ないでしょ？ 一部だけの使用でも矛盾が導ければ同じと考えます
以上
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244 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage]：2018/02/16(金) 15:10:11.59 ID:wmUyW91w - >>231
>>>131
>にはお答えいただけないようですね
なんども同じことを書いていますが
>>239-240 & >>242 をご参照ください
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245 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage]：2018/02/16(金) 15:33:04.70 ID:wmUyW91w - >>244 補足
(>>240より)
仮定P’2：「R−Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
↓
結論：この場合は、ｆは空集合（存在しない）
は、証明可能かもしれません。（定理1.7の証明で、「自動的に証明できている」という主張は無茶では？）
しかし
仮定P’2：「R−Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
↓
f はある開区間の上でリプシッツ連続である
↓
結論： f はある開区間（＝リプシッツ連続な開区間）の上で ”lim sup y → x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞”である
が言える （つまり、リプシッツ連続→”lim sup y → x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞” が成立。つまり、Bf内に開区間ありと）
（>>205より）
ですから、繰り返しますが
仮定は、補集合がR中稠密で、Bfは開区間など持ち得ない
結論は、Bfは開区間を持つ
です
だから、仮定から結論は、導けない。
この証明は不可能でしょう
だから、
仮定：補集合がR中稠密で、Bfは開区間など持ち得ない
から出発して
結論(A)：そのようなｆは空集合（存在しない）
結論(B)：そのようなｆは存在し、反例になる
このように、結論(A)か結論(B)か、どちらかをきちんと証明すべきです
（繰り返すが、仮定：補集合がR中稠密で、Bfは開区間など持ち得ない だから、結論が、Bf内に開区間あり は、まずいよと）
以上
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246 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage]：2018/02/16(金) 15:46:35.35 ID:wmUyW91w - >>235
>P->Q
>が真である場合
１）
P：「R−Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」（>>245）
Q：「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」
↓
f はある開区間（＝リプシッツ連続な開区間）の上で ”lim sup y → x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞”である
が言える （つまり、リプシッツ連続→”lim sup y → x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞” が成立。つまり、Bf内に開区間ありと）
ですから、P→Q（”Bf内に開区間あり”）です
２）
一方で、”Bfの補集合が、R中稠密”ですから、Bf内に（Bfのみの）開区間なし（必ずBfの補集合R−Bfがその開区間に交じります）
ですから、P→¬Qです
３）
P→QとP→¬Qとは両立しません。どちらかを捨てるしかありません（排中律）
P→¬Qは”R中稠密”から自明ですので、P→Qを捨てることになります。
以上
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247 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage]：2018/02/16(金) 15:49:31.45 ID:wmUyW91w - >>230
引用
「この定理は
P:R-Bfが可算個の疎な閉集合で覆える
Q:fがリプシッツ連続となる開区間が存在する
というものであり
ｆにリプシッツ連続となる開区間が存在するならR-BfがRで稠密にならないのは自明ですので
''R-Bfが可算個の疎な閉集合で覆える"∧"R-BfがRで稠密"->矛盾
となる訳です
件の証明を書いた人が再三指摘しているあなたの思考法の難点は
背理法を理解していないことにあるようですね」
(引用終わり)
ここは、>>246ご参照
”P→QとP→¬Qとは両立しません。どちらかを捨てるしかありません（排中律）
P→¬Qは”R中稠密”から自明に成立ですので、P→Qを捨てることになります。”ってことです
背理法とは、明白に異なっています
以上
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248 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage]：2018/02/16(金) 16:57:22.84 ID:wmUyW91w - >>214 補足
>まあ、分かりやすい証明を考えますよ（＾＾
＜経過報告＞
（>>204より）
１）定理1.7の条件；lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ （ lim supが有限）
↓↑
２）ディニ微分 （４つのDini微分が有限）
↓↑
３）定理1.7の結論；リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）（k 有限）
まあ、命題３つとも全部”有限からみ”で、特に”２）ディニ微分 （４つのDini微分が有限）”を中心にして、１）２）３）が全て同値が言えるのえではというのがそもそもの発想です
１）と２）が同値であることは、>>200 テキスト Fundamentals of Real Analysis のP220 で終わっていると思う
３）が見かけ一番強い条件で、３）→１）を見るのは易しい（>>205に書いた）
だから、２）→３）又は１）→３）が言えれば良い
仮定は１）の”lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ （ lim supが有限）”の開区間が存在するだから
この開区間が存在する仮定のもとで、→（この区間内で）”リプシッツ連続”が言えれば良い
まあ、この程度の話だから、すでにどこかのテキストに同じ命題か類似命題があるのでは・・、その方が説得力もあるので探しているところ
無ければ、それこそ背理法を使って
”lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ （ lim supが有限）”の開区間が存在するにも拘わらず
この開区間内に、”リプシッツ不連続”な点（k 無限大発散）
として、矛盾を導く（例えば、”リプシッツ不連続”（k 無限大発散）な点では、４つのDini微分のどれかが無限大になる）
方針で、証明することになるだろう
（まあ、なにかテキストを見つけて読んだ方が勉強になるので、いま模索＆思案中です・・（＾＾ ）
以上
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