- 奇数の完全数の有無について [無断転載禁止]©2ch.net
80 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/16(金) 07:59:42.15 ID:ROeNsO6N - >>71 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk
ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると
y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a
(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。
有理数dをd=a/bとすると
p=(2-d/p^n)/(2-d)
b=Π[k=1,m]pk^qkだから、
b≢0 (mod p)
正整数e,fとして、
b=ep+f
0<f<p
b≡f (mod p)
が成立する
c-2b≡0 (mod p)
c≡2b≡2f (mod p)
c≢0 (mod p)
ap-2bp+2b=c
ap-c=2b(p-1)
2b=(ap-c)/(p-1)
正整数g,h、h≡2f (mod p), 0<h<p
2b=(ap-c)/(p-1)=gp+h
ap-c=gp^2+hp-gp-h
gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
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81 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/16(金) 08:02:23.66 ID:ROeNsO6N - >>80 つづき
-ap+hp+c-h≡0 (mod g)
p(-a+h)+c-h≡0 (mod g)
整数iを用いて
p(-a+h)+c-h=gi
c-h≡gi≡0 (mod p)
整数jを用いて
pj=gi
p=gi/j
pは素数だから、i=1で、g=pjでなければならい。
g≡0 (mod p)
2b=jp^2+h
c-h≡0 (mod p)だから、整数をk(0<k<p)として
c=pk+h
ap-2bp+2b=c
ap=2b(p-1)+c
=(jp^2+h)(p-1)+pk+h
=jp^3+ph-jp^2-h+pk+h
=jp^3+ph-jp^2+pk
a=jp^2-jp+h+k
∴a≡h+k (mod p)
c=pk+hで、c,pはともに奇数であるから、hとkの偶奇は反対になり、
h+kは奇数となる。
整数をmとして
a=mp+h+k
a-2b=mp+h+k-(jp^2+h)=mp-jp^2+k≡k (mod p)
c-2b=pk+h-(jp^2+h)=pk-jp^2≡0 (mod p)
a-c≡k (mod p)
a≡h+k (mod p)
c≡h (mod p)だから、2b≡c≡h (mod p)
gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
p^3-p(p+a-h)+c-h=0
p^3-p^2+(-a+h)p+c-h=0
p^2(p-1)+h(p-1)-ap+c=0
ap-c≡0 (mod p-1)
ap-c-a(p-1)=a-c≡0 (mod p-1)
a-c≡k (mod p)
a-c≡0 (mod p-1)
整数をsとして
a-c=ps+k
ここで、a-cは偶数だから、sとkの偶奇は反対になっている。
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82 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/16(金) 08:03:07.57 ID:ROeNsO6N - >>81 つづき
整数をtとして
a-c=(p-1)t
ps+k=(p-1)t
k+t=(t-s)p
k+t≡0 (mod p)
整数をuとして
k=up-t
a-c=(p-1)(up-k)
a((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
a/(p^n(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1))=up-k
a=(up-k)p^n(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)
a≡0 (mod p)
c≡-k (mod p)
a≡h+k (mod p)で、a≡0 (mod p)、0<h,k<pだから
h+k=p
a=jp^2-jp+h+k
a=jp^2-jp+p=jp(p-1)+p
a≡1 (mod p-1)
整数をvとして
a=v(p-1)+1
a((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
(v(p-1)+1)((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
(p^n-1)/p^n≡0 (mod p-1)
(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)(p-1)/p^n≡0 (mod p-1)
整数wとして
(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)(p-1)/p^n=w(p-1)
w=(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)/p^n
wp^n=p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1
wp^n≡0 (mod p)
p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1≡1 (mod p)
となり、wが整数になることに矛盾する。
以上から、奇数の完全数は存在しない。
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90 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/16(金) 15:30:39.59 ID:ROeNsO6N - >>89
その部分は計算の誤りでした。
>>82 訂正
>>81 つづき
整数をtとして
a-c=(p-1)t
ps+k=(p-1)t
k+t=(t-s)p
k+t≡0 (mod p)
整数をuとして
k=up-t
a-c=(p-1)(up-k)
a((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
a(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)(p-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
a(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)=(up-k)p^n
a≡0 (mod p)
c≡-k (mod p)
a≡h+k (mod p)で、a≡0 (mod p)、0<h,k<pだから
h+k=p
a=jp^2-jp+h+k
a=jp^2-jp+p=jp(p-1)+p
a≡1 (mod p-1)
整数をvとして
a=v(p-1)+1
a((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
(v(p-1)+1)((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
(p^n-1)/p^n≡0 (mod p-1)
(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)(p-1)/p^n≡0 (mod p-1)
整数wとして
(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)(p-1)/p^n=w(p-1)
w=(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)/p^n
wp^n=p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1
wp^n≡0 (mod p)
p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1≡1 (mod p)
となり、wが整数になることに矛盾する。
以上から、奇数の完全数は存在しない。
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93 ：１３２人目の素数さん[]：2018/02/16(金) 16:18:11.83 ID:ROeNsO6N - >>92
>>81に書いてあります。
>>38, >>80-81, >>90が正しいと思われるレスです。
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