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175 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/14(水) 01:06:54.41 ID:sLMrM9T3 - >>159
＞ところが、場合分けとして、「無理数＝R−Bf」とか、「超越数＝R−Bf」は、できない
＞”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件に、合致しないからだ
その場合分けは「仮定が偽」になることが明白なだけであって、その場合分け自体は可能である。
あるいは、次のように言ってもよい。お前がそこで言っていることはつまり、
「仮定が偽のケースは場合分けとしては不可能である」
という屁理屈である。だったら、その屁理屈を拝借すれば、全く同じように、
「 R−B_f は R の中で稠密」という場合分けも不可能である。
なぜなら、その場合「 R−B_f が第一類集合 」の条件に合致しないからだ(定理1.7により)。
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176 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/14(水) 01:08:21.70 ID:sLMrM9T3 - >>159
＞同様に、「定理C: f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である」 で、
＞場合分け ”(1) f は原点で連続 (2) f は原点で不連続”は不可
その場合分けは やはり可能だし、どちらのケースでも、
「仮定が偽」になることは全く明白ではない。特に (2) のケースは、
「結論に合致しないケース」
なのであって、「仮定に合致しないケース」ではないので、スレ主の言い分である
「仮定が偽のケースは場合分けとしては不可能である」
という屁理屈にすら全く当てはまっていない。
あるいは、お前にとっては、(2)の場合に仮定が偽になることが明白に見えるかもしれないが、
それは 定理C を先に適用してしまっているからであって、既に述べたように循環論法である。
ゆえに、定理C の場合には、(1),(2)による場合分けは可能である。
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177 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/14(水) 01:09:43.27 ID:sLMrM9T3 - さて、上記の理由により、定理C の証明の中で P1,P2 と場合分けした場合には、
"場合分けP2" を事前に排除することは不可能であることが確定した。従って、当初の予定通り
―――――――――――――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2：f は原点で微分可能かつfは原点で不連続
P ＝ P1∨P2
―――――――――――――――――――――――
という場合分けになる。そして、お前は次のように主張するのである。
「 P2 の場合に「 P2 → Q 」を導くのは、なんか変。ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない」
これは一体どういうことだね？
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178 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/14(水) 01:13:44.77 ID:sLMrM9T3 - 追記。
＞ところが、場合分けとして、「無理数＝R−Bf」とか、「超越数＝R−Bf」は、できない
＞”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件に、合致しないからだ
繰り返しになるが、お前がここで言っていることはつまり、
「仮定が偽のケースは場合分けとしては不可能である」という屁理屈である。
その一方で、世の中には次のような定理が存在する。
定理：a^b が有理数になるような無理数 a,b が存在する。
この定理の証明として、次のような有名なものがある。
――――――――――――――――――――――――――――――
証明：c＝√2 と置くと、これは無理数であることが知られている。
そこで、c^c の値に注目し、以下のように場合分けする。
(1) c^c は有理数である (2) c^c は無理数である
(1) の場合、a＝b＝c と置けばよいことになるので、証明が終わる。
(2) の場合、a＝c^c と置けば、まず a は無理数である。
また、b＝c と置けば、これも無理数である。c＝√2 だったから、
a^b ＝ (c^c)^c ＝ c^{c^2}＝ (√2)^(√2^2) ＝ 2
となるので、a^b は有理数である。よって、(2) の場合も証明が終わる。
――――――――――――――――――――――――――――――――
[続く]
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179 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/14(水) 01:16:14.39 ID:sLMrM9T3 - [続き]
上記の証明はよく知られた証明であり、「正しい証明である」ことに注意せよ。
一方で、c^c すなわち √2^√2 は実際には「無理数」であることが
証明されている(簡単には証明できないらしいが)。となると、上記の証明における
(1) c^c は有理数である
のケースは、仮定が偽ということになる。従って、お前の屁理屈によれば、そもそも
＞(1) c^c は有理数である (2) c^c は無理数である
という場合分け自体が不可能ということになる。その一方で、上記の証明は
よく知られた証明であり、「正しい証明」なのである。たとえば、
https://ja.wikipedia.org/wiki/排中律
に全く同じ証明が載っている。にも関わらず、スレ主の屁理屈によれば、
そもそも (1),(2) による場合分け自体が不可能となってしまい、
上記の証明は「間違っている」ことになってしまう。
これは一体どういうことだね？
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183 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/14(水) 01:32:05.54 ID:sLMrM9T3 - >>163
＞この場合、Bf内に開区間など取れない。
＞稠密な場合は、開区間には、必ず「R−Bf」が入るから、
＞定理1.7の「開区間がリプシッツ連続だ」という主張は、もともと無理でしょ？
「R−B_f が第一類かつ R−B_f が R の中で稠密」という仮定は「偽」なので、
スレ主の屁理屈によれば、そもそもそのような場合分け自体が不可能である。
つまり、スレ主は自爆している。
あるいは、次のように言ってもよい。
「R−B_f が第一類かつ R−B_f が R の中で稠密」という仮定は「偽」なので、
矛盾した命題からはどんな命題も導出できるがゆえに、
「ある開区間の上でリプシッツ連続だ」という主張も導出できる。
スレ主は「導出できない」などとほざいているが、実際には導出できるのである(仮定が偽だから)。
では、なぜ「R−B_f が第一類かつ R−B_f が R の中で稠密」が偽であると分かるのか？
それは、定理1.7 から従う。
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185 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/14(水) 01:36:49.66 ID:sLMrM9T3 - あるいは、同じことの繰り返しになるが、次のように言ってもよい。
＞この場合、Bf内に開区間など取れない。
＞稠密な場合は、開区間には、必ず「R−Bf」が入るから、
＞定理1.7の「開区間がリプシッツ連続だ」という主張は、もともと無理でしょ？
お前のこの屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2：f は原点で微分可能かつfは原点で不連続
P ＝ P1∨P2
スレ主：
P2 の場合には、f が原点で不連続であることが仮定されているのだから、
f が原点で連続であるという主張はもともと無理である。
つまり、P2 の場合には、定理C は証明できない。
ゆえに、定理C は数学の定理としてふさわしい形をしていない。
――――――――――――――――――――――――――――
お前はここで、「定理Cの場合は P1,P2 による場合分けが不可能だ」という屁理屈を
何度も述べているようだが、全く同じ屁理屈は定理1.7にも適用できるので、
お前の屁理屈はどちらに転んでも完全に破綻している。というか、もともと論理が滅茶苦茶。問題外。
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186 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/14(水) 01:38:44.93 ID:sLMrM9T3 - >>160
＞だが、上記で
＞A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
＞A_f(x)＝ 0 (xは無理数)
＞とすれば、これはディリクレ関数と同じ性質を持つ。
＞つまり、すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。微分不可だから、ディニ微分不可。
＞だから、B_fは空集合
息をするように間違えるゴミクズ。俺は
f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
と書いたのではない。
A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
と書いたのである。すなわち、 f そのものをディリクレ関数っぽい値に設定したのではなく、
A_f の方をディリクレ関数っぽい値に設定したのである。もしそのような性質が成り立つ f が
存在したとすると、(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題なのに、f はどの開区間の上でも
リプシッツ連続にならないので、
「 (a,b)⊂B_f の場合はリプシッツ連続性が自明に分かる」
というスレ主の直観は破壊されることになる。
[続く]
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187 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/14(水) 01:41:48.63 ID:sLMrM9T3 - [続き]
ここでお前は、次のように言うかもしれない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
A_f(x) がディリクレ関数っぽい状態なら、その前の f だってディリクレ関数っぽいはずであり、
ゆえに f はどの点でも微分不可能のはずで、B_fは空集合になるだろう。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
しかし、この意見は的外れであることを先に指摘しておく。
なぜなら、A_f(x) は おかしな挙動をある程度は取り得るからである。たとえば、
f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
という例の場合、A_f(x) は原点で 不 連 続 であることが確認できる。
もちろん、この f の場合は、A_f(x) は原点以外のところでは連続になっているが、
しかし原点では不連続なのである。
ところで、f の原点での挙動を、他の有限個の点 x_1, x_2, …, x_n に "移植" することは
明らかに可能であるから、そのように移植した新しい関数を g とするとき、A_g(x) は
x＝0, x_1, x_2, …, x_n において不連続ということになる。もちろん、A_g(x) は
各点で「有限値」のままである。
というように、少なくとも有限個の点で A_f(x) が不連続になることは実際に「ある」。
問題は、A_f(x) が R 全体でディリクレ関数っぽい状況になることがあり得るのかということであるが、
俺が書いた>>110の手法を使えば、そのような関数は「無い」ことが分かる。
しかし、それは>>110を使ったからこそ「無い」ことが分かるのであって、
「無いことは自明である」ということにはならないのである。
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195 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/14(水) 18:15:21.87 ID:sLMrM9T3 - >>189
＞が、集合Qの外、つまり、「無理数＝R−Bf」とか、「超越数＝R−Bf」は、できない。それをやれば、プロレスの場外乱闘ですよ
「場外乱闘」などという言葉を使ってみても、お前が言っている内容は全く変わらない。
お前がそこで言っていることはつまり、
――――――――――――――――――――――――――――――――――
R−B_f が第一類集合なのに「 R−B_f＝無理数」としてしまえば、
R−B_f が第一類集合であることに矛盾するので、この場合分けは出来ない
――――――――――――――――――――――――――――――――――
ということである。この屁理屈を>>178-179に適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
c＝√2 とすると、c^c は無理数であることが知られている。すると、
c^c は無理数なのに「 c^c は有理数 」としてしまえば、
c^c が無理数であることに矛盾するので、この場合分けは出来ない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
つまり、スレ主は>178-179の証明が「間違いだ」と言っていることになるのである。
しかし、>178-179の証明は、よく知られた「正しい証明」である。
これは一体どういうことだね？
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196 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/14(水) 18:33:31.82 ID:sLMrM9T3 - >>195
＞なぜなら、その場合「 R−B_f が第一類集合 」の条件に合致しないからだ(定理1.7により)”という主張も無理筋でしょう
＞それをいうなら、（>>13）”系1.8 有理数の点で不連続”には、適用できないということですよね
＞「 R−B_f は R の中で稠密」という場合分けが、定理1.7で存在しないなら、「系1.8 有理数」には定理1.7は適用できませんね
何度も同じことを言わせるな。定理1.7は系1.8の証明の中で適用可能である。
なぜなら、定理1.7 の主張は
「 R−B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続」
というものだからだ。系1.8 だけでなく、
一般に R−B_f が第一類集合でありさえすれば、定理1.7が適用可能。
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197 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/14(水) 18:36:23.51 ID:sLMrM9T3 - >>190
＞（一般性を損なわず”A_f(x)＝0 (xは無理数)”とします）
＞１）∀p ∈Q を考えた場合、”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }”で、
＞ 無理数x=irに収束するQ内のコーシー列が取れる。分母q→∞。だから分子もp→∞。
＞２）補足：1/2=0.5に近い無理数x=irを考えると、コーシー列pn/qnで、分母qn→∞のとき、分子p =〜 0.5q→∞となる
＞３）なので、「(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題」ではない
計算の仕方が意味不明。お前がそこでやっていることは、
「 1/2 に近い無理数 x を1つ取り、有理数列 pn/qn であって pn/qn → x を満たすものを取った」
ということに過ぎない。このときに pn → ＋∞, qn → ＋∞ が成り立つのは当たり前の話。
で？どうしてそこから 「(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題ではない」という結論が出るんだ？
(a,b) ⊂ B_f が "成り立たない" ためには、(a,b) 内のある点 z において Af(z)＝＋∞ が
成り立たなければならないんだぞ？どうやってそのような点 z を見つけるんだ？
お前の書き方だと、あたかも Af(x)＝＋∞ が成り立つかのように書かれているが、
pn/qn を取っただけでどうして Af(x)＝＋∞ が出るんだ？
｜(f(x)−f(pn/qn))/(x−pn/qn)｜
↑この式で n→∞ としてみても、Af(x)＝＋∞ は全く出て来ないぞ？
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198 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/14(水) 18:39:53.16 ID:sLMrM9T3 - >>190
もしかしてお前、A_f(x)＝0 と f(x)＝0 を混同してるんじゃないか？
あるいは、A_f(q/p)＝|p| と f(q/p)＝|p| を混同してるんじゃないか？
お前は f(x)＝0, f(pn/qn)＝ |qn| として計算しているんじゃないか？
何度も言うけど、俺は
f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
と書いたのではなくて、
＞A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
＞A_f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
と書いたのだぞ？あたま大丈夫？あるいは、
「 pn/qn → x かつ Af(pn/qn)＝|qn| → ＋∞ だから、Af(x)＝＋∞ 」
だと勘違いしてるんじゃないか？Af(z) は z の関数として連続ではないのだから、
pn/qn → x かつ Af(pn/qn) → ＋∞ でも Af(x)＝＋∞ なんて言えないぞ？
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