- 奇数の完全数の有無について [無断転載禁止]©2ch.net
49 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/14(水) 01:19:50.68 ID:BzdeAn+s - >>48
>>47では、|a-2b|>1としていますが。
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- 分からない問題はここに書いてね440
823 ：１３２人目の素数さん[706]：2018/02/14(水) 01:27:04.65 ID:BzdeAn+s - 私が死ななくて良かったのではないでしょうか？
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51 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/14(水) 03:12:23.72 ID:BzdeAn+s - >>48
その部分は誤りでした。
>>47 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk
ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると
y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a
(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。
aはbで割り切れるから、整数dをd=a/bとすると
p=(d/p^n-2)/(d-2)
となるが、p^n>1であるから、p<1となりpが素数であることに矛盾する。
以上から、奇数の完全数は存在しない。
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53 ：１３２人目の素数さん[]：2018/02/14(水) 07:41:42.13 ID:BzdeAn+s - >>52
言い切れません。dは実数に変更します。
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54 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/14(水) 07:44:59.01 ID:BzdeAn+s - >>52
有理数にしました。
>>51 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk
ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると
y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a
(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。
有理数dをd=a/bとすると
p=(d/p^n-2)/(d-2)
となるが、p^n>1であるから、p<1となりpが素数であることに矛盾する。
以上から、奇数の完全数は存在しない。
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56 ：１３２人目の素数さん[]：2018/02/14(水) 08:56:09.94 ID:BzdeAn+s - >>55
この証明は>>38から続いている
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58 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/14(水) 10:10:25.97 ID:BzdeAn+s - >>54 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk
ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると
y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a
(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。
有理数dをd=a/bとすると
ap-2bp+2b=a/p^n
a(p-1/p^n)=2(p-1)b
d=2(p-1)/(p-1/p^n)
(p-1)/(p-1/p^n)<(p-1)/pであり、pは2より大きい素数であるから
p>2+1/p^n
2(p-1)>p-1/p^n
2(p-1)/(p-1/p^n)>1
となるから、dは1<d<2(p-1)/p …④
の値をとる。
p=(2b-a/p^n)/(2b-a)
p=(2-d/p^n)/(2-d)
pは④の範囲で、変数dの単調増加関数であるから
(2-1/p^n)<p<(2-2(p-1)/(pp^n))/(2-2(p-1)/p) …⑤
右辺は
(2-2(p-1)/(pp^n))/(2-2(p-1)/p)
=(p-(p-1)/(p^n))/(p-(p-1))
=p-(p-1)/(p^n)
となるから、⑤は
(2-1/p^n)<p<p-(p-1)/(p^n)
となるが
p<p-(p-1)/(p^n)は成立することはないから、④は成立しない。
以上から、奇数の完全数は存在しない。
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59 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/14(水) 10:17:04.79 ID:BzdeAn+s - >>58 訂正
×p<p-(p-1)/(p^n)は成立することはないから、④は成立しない。
〇p<p-(p-1)/(p^n)は成立することはないから、⑤は成立しない。
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65 ：１３２人目の素数さん[sage]：2018/02/14(水) 22:32:56.83 ID:BzdeAn+s - >>38と>>58でQ.E.D.ではないかと思います
acceptだと聞こえてきていますし
本当かどうかは分かりませんが
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