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492 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/12/05(火) 15:55:49.31 ID:M1q+8D4F - >>489
今までの文脈を理解してないように見える。
＞その定義だと、自然数にゼロは無いということになりそうだが、、、
無論、ペアノの公理系だけでは、自然数の中に「0」も「1」も無い。
あるのは後者関数によって定まる構造だけ。しかし、例のガイジは
「自然数に 0 は無いが、1 は確実にある」
「ここでの自然数とは、ペアノの公理系を満たす集合のこと」
と主張しているのである。つまり、ペアノの公理系だけから、
「 0 は無いけど 1 はある」と主張しているのでる。そこが問題なのである。
そういうガイジに、
「 0 も 1 も、何かしらの代数的構造が先に無ければ定義されない」
とレスしても通用しない。
ペアノシステム (X, s, f) の中に異なる2種類の演算(両方とも、ペアノシステムの構造に沿った形の
自然な「加法」と見なせる演算)を定義して、ある演算のもとでは s がゼロの役割をするのに、
別の演算のもとでは s はゼロの役割をしない、という例を見せるのが有効であると俺は考える。
そこで、>>484で
「 s は (X,β) においてゼロの役割をする」
「 s は (X,α) においてゼロの役割をしない」
「 ゆえに、s にゼロの役割を与えるか否かは、単なる流儀の違いに過ぎない」
といった言い方をした。
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493 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/12/05(火) 16:04:46.08 ID:M1q+8D4F - >>490
＞もともとのペアノ公理系は、自然数の順序構造しか表しておらず、
＞整数の代数構造の部分集合としての自然数を記述してない。
ほぼ同じことが>>482-486に書いてある。
ペアノシステム (X, s, f) では基本的な代数構造すら記述されてないので、
演算αや演算βによって、s がゼロの役割をしたりしなかったりする
(α,βともに、システムに沿った形の自然な「加法」の演算であるにも関わらず)。
すなわち、s がゼロの役割をするか否かは、
ペアンの公理系だけでは全く指定が無い、と述べている。
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494 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/12/05(火) 16:13:34.81 ID:M1q+8D4F - >>490
＞ x→(f^-1)(f(x)+1) で構わないから、後者が+1だというのは
＞ 一例としてそう解釈することもできるという話でしかない。
それは認識の仕方が不自然ではないか？君が言っているのは、
「代数構造も含めた整数が予め与えられているとして、その部分集合としての自然数を N とするとき、
ある後者関数 f：N → N が存在して、N の中に予め定義されている「＋」と「1」を拝借しても
f(n)＝n＋1 とは表せない形の後者関数 f が存在する」
ということに過ぎない。一方で、一般のペアノシステム (X, s, f) を取るごとに、
そのシステムから自然に作られる>>483の演算「α」に対して
f(n) ＝ n α s (n∈X)
が成り立つ。演算αは、(X, s, f) の中で自然に「加法」を表現していると考えられるし、
s は (X, α) の中で「1」の役割をするので、αを「 ＋' 」と表記し、s を「 1' 」と表記することにすれば
f(n) ＝ n ＋' 1' (n∈X)
と表現できることになる。つまり、(X, s, f) を取るごとに、このシステム専用の
自然な加法の演算「 ＋' 」と元「 1' 」が存在して、後者関数 f は 「 ＋' 1' 」の形になっている。
このような意味において、後者関数は本津的に "＋1" の形しか取らない。
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495 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/12/05(火) 16:24:02.06 ID:M1q+8D4F - ちなみに、>>494については、>>483の演算「β」を使ってもよい。
一般のペアノシステム (X, s, f) を取るごとに、
そのシステムから自然に作られる>>483の演算「β」に対して
f(n) ＝ n β f(s) (n∈X)
が成り立つ。βは (X, s, f) の中で自然に「加法」を表現していると考えられるし、
s は (X, β) の中でゼロの役割をして、f(s) は (X, β) の中でイチの役割をするので、
βを「 ＋'' 」と表記し、s を「 0'' 」と表記し、f(s) を「 1'' 」と表記することにすれば
f(n) ＝ n ＋'' 1'' (n∈X)
と表現できることになる。また、(X, ＋'' ) は可換な単位的半群であり、
0'' は (X, ＋'' ) において単位元の役割をする。
つまり、(X, s, f) を取るごとに、このシステム専用の、
>>494とは別の自然な加法の演算「 ＋'' 」とXの元「 0'' 」「 1'' 」が存在して、
後者関数 f は 「 ＋'' 1'' 」の形になり、さらに、(X, ＋'' ) は可換な単位的半群であり、
0'' は (X, ＋'' ) において単位元の役割をする。
このような意味において、後者関数は やはり本津的に "＋1" の形になる。
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496 ：１３２人目の素数さん[]：2017/12/05(火) 16:29:18.64 ID:M1q+8D4F - わかると思うけど、最後の一文を訂正ｗ
× やはり本津的に
〇 やはり本質的に
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500 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/12/05(火) 20:01:49.25 ID:M1q+8D4F - >>497
＞その加法が自然だとか本質的だとかいう議論は、
＞Nが0を含むほうが自然だとか含まないほうが
＞自然だとかいう議論と同種のものに見える。
俺は、αもβも自然な加法の演算だと言っているが、N が 0 を含む方が自然とは
言ってないし、含まない方が自然とも言っていない。また、例のガイジですら、
そういう話はしていない。俺が言っているのは、
「 s は (X,β) においてゼロの役割をする」
「 s は (X,α) においてゼロの役割をしない」
「 ゆえに、s にゼロの役割を与えるか否かは、単なる流儀の違いに過ぎない」
ということである。単にこれだけが言いたいのなら、α・βが「自然である」という
言い方をする必要は無いように見えるが、そうではない。もしαとβがペアノシステムに
沿ってない荒唐無稽な演算なら、s が (X,α)や(X,β)においてゼロの役割をする・しないと
言ったところで ほとんど無意味であろう。しかし、実際には、αとβはペアノシステムに沿った
自然な演算であると考えられる。よって、s がそれらの演算でゼロの役割をする・しない
という言い方をすることには、一定の意味があると俺は考える。
だから、「α・βは自然な加法の演算だ」と書いた。そして、俺が書いたこれらのことは、
「N に 0 を含める方が自然・含めない方が自然」という話とは違うものである。
また、例のガイジが言っているのは、
「ペアノの公理系だけを用いて、0 は絶対に含まれず、1 は絶対に含まれることが結論される」
というたぐいの主張である(何をどう勘違いしたらこんな考えに至るのか理解不能)。
これもまた、「N に 0 を含める方が自然・含めない方が自然」という話とは違うものである。
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501 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/12/05(火) 20:14:54.58 ID:M1q+8D4F - >>497
＞ペアノの後者写像を用いて加法を実装し
＞自然数を整数へ拡張する話は、N自体の定義とは
＞また別のものだろう。
加法を実装して整数へ拡張するのが目的なのではないし、
そもそも整数まで拡張していない(「半群」に抑えてある)。
半群としての加法を実装するときに、s がゼロの役割をするようにしたいのか、
そうでないようにしたいのか、という話をしている。
すると、ゼロの役割をするようにもできるし、そうでないようにもできる。
ゆえに、例のガイジが言っているような、
「ペアノの公理系だけを用いて、0 は絶対に含まれず、1 は絶対に含まれることが結論される」
という主張は間違っている、… という話の仕方をしている。
つまり、出発点はあくまでも、例のガイジの滅茶苦茶な主張である。
こんな滅茶苦茶な主張をしている輩に、
「Nの定義そのものに 0 も 1 も関係ない」
とだけ言っても通用しないと>>492で既に書いた。
別のアプローチによって、例のガイジの間違いを本人に納得させることが出来るなら、
君が、君のやり方で、書いてみればよい。
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502 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/12/05(火) 20:24:26.08 ID:M1q+8D4F - >>499
＞整数環や有理数体を構成するあたりまでコミで
＞「ペアノシステム」だと教わってしまうと、
そんな教わり方をしている奴は、このスレには存在しない。
ペアノシステムの定義は >>483 に書いた。
この定義に、整数環や有理数体の構成は出現しない。
ゆえに、ペアノシステムと、整数環や有理数隊の構成は無関係。
無関係であるがゆえに、ペアノの公理系だけでは、自然数に 0 も 1 も出現しない。
ゼロやイチといった概念は、代数的な演算とセットで定義される概念だからだ。
しかし、例のガイジにこの正論は通用しない。
だから俺は、>>482-486のアプローチをとった。何度も書くが、
「 s は (X,β) においてゼロの役割をする」
「 s は (X,α) においてゼロの役割をしない」
「 ゆえに、s にゼロの役割を与えるか否かは、単なる流儀の違いに過ぎない」
というアプローチである。
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