- 面白い問題おしえて〜な 二十四問目 [無断転載禁止]©2ch.net
188 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/10/09(月) 03:56:03.44 ID:AAcQM4kG - >>187
A(n，k）のうち、末尾がAのものを f(n，k)，末尾がA以外のものを g(n,k）とする。
A(n，k) = f(n，k) + g(n，k)
漸化式
f(n+1，k）= g(n，k-1),
g(n+1，k）= 2f(n，k）+ g(n，k),
初期値
f(n，0）= 0，
f(n，1）= g(n，0) = 2，
f(n，2）= g(n-1，1）= 4n-10,
Σ[n=2k-1，∞］f(n,k) z^n =｛(1+z)/2z}{2zz/(1-z)}^k,
Σ[k=1，∞］Σ[n=2k-1，∞］f(n,k) z^n t^k =（1+z)zt/(1-z-2tzz),
Σ[n=2k，∞］g(n,k）z^n =｛(1+z)/(1-z)}{2zz/(1-z)}^k,
Σ[k=0，∞］Σ[n=2k，∞］g(n,k) z^n t^k =（1+z)/(1-z-2tzz),
Σ[n=2k-1，∞］A(n,k）z^n =｛(1+z)(1+tz)/(1-z)}{2zz/(1-z)}^k,
Σ[k=0，∞］Σ[n=2k-1，∞］A(n,k) z^n t^k =（1+z)(1+tz)/(1-z-2tzz),
むむむ、解けぬ。。。
| - 不等式への招待 第９章 [無断転載禁止]©2ch.net
188 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/10/09(月) 18:48:59.21 ID:AAcQM4kG - >>186
n=3 のときは
Lhs - Rhs = 2(aa+bb+cc) +3GG -(a+b+c)^2
= aa+bb+cc -2ab -2bc -2ca +3GG
≧ A^3 + B^3 + C^3 -AB(A+B）-BC(B+C）-CA(C+A）+3ABC
= F_1(A,B,C)
≧ 0,
ここに、A=a^(2/3)，B=b^(2/3)，C=c^(2/3）とおいた。
>>187
8(Mhs - Lhs）
= 4(a+b+c)(ab+bc+ca) -（a+b+c)^3 + 8abc
=（a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
＞ 0,
abc ≦｛(a+b+c)/3}^3 = 8/27, （← AM-GM)
Mhs = ab+bc+ca ≦｛(a+b+c)^3 + 9abc}/{4(a+b+c)｝= 1 +（9/8)abc ≦ Rhs,
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