- 不等式への招待 第９章 [無断転載禁止]©2ch.net
10 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/09/14(木) 09:50:04.36 ID:Ew79uiN/ - >>5
M(a,b,c) について、
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
≦ ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
≦ (a^2+2b^2+c^2+ab+bc)(b^2+2c^2+a^2+bc+ca)(c^2+2a^2+b^2+ca+ab)/8
≦ (1/27)*(2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca)^3
きれいな式で押さえたいんだが… ('A`)
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11 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/09/14(木) 09:54:59.15 ID:Ew79uiN/ - >>6-7
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (27/64)[(a+b)(b+c)(c+a)]^2 ≧ (1/3)[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2 ≧ (ab+bc+ca)^3
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2.
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2) ≧ (ab+bc+ca)^3 ≧ 3abc(a+b+c)(ab+bc+ca) ≧ 27(abc)^2.
[疑問]
右辺の 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2) は、
(27/64)[(a+b)(b+c)(c+a)]^2 や (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)
より大きそうなんだけど、うまく証明できない。
s, t, u に置き換えて差を計算してみたけど、次数が高くて…
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12 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/09/14(木) 10:36:49.22 ID:Ew79uiN/ - >>5
m(a,b,c)について、
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ 3(√3)*(a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab)
ゆるゆるな希ガス…。
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14 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/09/14(木) 23:04:50.69 ID:Ew79uiN/ - ゆるゆると言えば、2009 BMO。
http://www.bmoc.maths.org/home/bmo2-2010.pdf
a, b, c>0 に対して、4(a+b+c)^3 > a^2b + b^2c + c^2a.
こんなの見たら改良せざるをえない ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
a, b, c>0 に対して、4(a+b+c)^3 ≧ a^2b + b^2c + c^2a + abc.
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